第二讲 高中数学解题基本方法

第二讲高中数学解题基本方法【配方法】(本讲对应学生用书第4~9页)配方法例1已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)-2x的解集为(1，3).若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.【解答】(1)因为f(x)+2x0的解集为(1，3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)且a0.于是f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a212-axa-241aaa，a0，可得f(x)的最大值为-241aaa.由241-00aaaa，，解得a-2-3或-2+3a0.故实数a的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0).【点评】二次函数，一元二次不等式和一元二次方程之间具有非常密切的关系：一元二次不等式的解集的端点就是其对应的一元二次方程的根，也就是二次函数与x轴的交点.因而在解题时要充分利用它们之间的关系.例2是否存在实数a，使函数f(x)=x2-2ax+a的定义域为[-1，1]时，值域为[-2，2]?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.【解答】f(x)=(x-a)2+a-a2.当a-1时，f(x)在[-1，1]上为增函数，所以(-1)13-2(1)1-2fafa，，解得a=-1(舍去)；当-1≤a≤0时，2()--2(1)1-2faaafa，，解得a=-1；当0a≤1时，2()--2(-1)132faaafa，a不存在；当a1时，f(x)在[-1，1]上为减函数，所以(-1)132(1)1--2fafa，a不存在.综上可得a=-1.【对应训练】1.函数y=3x2-x+2，x∈[1，3]的值域为.【答案】[4，26]【解析】因为y=3x2-x+2=321-6x+2312，所以函数y=3x2-x+2在[1，3]上单调递增.所以当x=1时，原函数有最小值为4；当x=3时，原函数有最大值为26.所以函数y=3x2-x+2，x∈[1，3]的值域为[4，26].2.在正项等比数列{an}中，已知a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=.【答案】5【解析】由题知23a+2a3a5+25a=(a3+a5)2=25，所以a3+a5=5.3.函数f(x)=11-(1-)xx的最大值是.【答案】43【解析】f(x)=2113-24x≤43.4.已知函数f(x)=-x2+4x+a(x∈[0，1])，若f(x)有最小值-2，则f(x)的最大值为.【答案】1【解析】因为f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a，且x∈[0，1]，所以f(x)min=f(0)=a=-2，所以a=-2，f(x)max=f(1)=-12+4×1-2=1.5.设函数f(x)=x2-3x+a，若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为.【答案】904，【解析】由f(x)=0得a=-x2+3x=-23-2x+94.因为x∈(1，3)，所以-23-2x+99044，，所以a∈904，.【定义法】定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题.数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的.定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念.简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象.用定义法解题，是最直接的方法.例1已知△ABC的三边a，b，c(abc)成等差数列，A，C两点的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，试确定顶点B所在的曲线.【分析】由a，b，c(abc)成等差数列，得BC+BA=2AC为定值，从而动点B在以C，A为焦点的椭圆上，可用定义法求出椭圆方程(再结合基他条件去除多余的点).【解答】设点B的坐标为(x，y)，因为a，b，c(abc)成等差数列，所以a+c=2b，即BC+BA=4.由椭圆定义知，点B轨迹方程为24x+23y=1.又因为abc，所以(x-1)2+y2(x+1)2+y2，所以x0.所以点B的轨迹是椭圆的一半，其方程为24x+23y=1(x0).又当x=-2时，点B，A，C在同一直线上，不能构成三角形ABC，所以x≠-2.所以顶点B的轨迹方程为24x+23y=1(-2x0)，轨迹是两段椭圆弧.例2设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1=1，a2=32，a3=54，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值；(2)求证：11-2nnaa为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式.【解答】(1)当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即4435124a+5×312=8×35124+1，解得a4=78.(2)因为4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1(n≥2)，所以4Sn+2-4Sn+1+Sn-Sn-1=4Sn+1-4Sn(n≥2)，即4an+2+an=4an+1(n≥2).因为4a3+a1=4×54+1=6=4a2，所以4an+2+an=4an+1.因为2111-21-2nnnnaaaa=2114-24-2nnnnaaaa=1114--24-2nnnnnaaaaa=112-2(2-)nnnnaaaa=12，所以数列11-2nnaa是以a2-12a1=1为首项、12为公比的等比数列.(3)由(2)知an+1-12an=-112n，即1112nna-12nna=4，所以数列12nna是以112a=2为首项、4为公差的等差数列，所以12nna=2+(n-1)×4=4n-2，即an=(4n-2)×12n=(2n-1)×-112n，所以数列{an}的通项公式是an=(2n-1)×-112n.【对应训练】1.若复数51-2i+m(i为虚数单位)为纯虚数，则实数m=.【答案】-1【解析】因为51-2i+m=5(12i)(1-2i)(12i)+m=1+m+2i为纯虚数，所以1+m=0，解得m=-1.2.已知角α的终边经过点P(x，-6)，且tanα=-35，则x的值为.【答案】10【解析】根据三角函数的定义得tanα=-6x=-35，所以x=10.3.已知数列{an}中，a1=1，an=-1na+12(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于.【答案】27【解析】由an=-1na+12(n≥2)得an-an-1=12(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项、12为公差的等差数列，因此S9=9×1+982×12=27.4.已知左焦点为F(-1，0)的椭圆过点E2313，，则椭圆的标准方程为.【答案】23x+22y=1【解析】由题意知c=1，设右焦点为F'(1，0)，所以2a=EF+EF'=2223(11)-03+233=23，所以a=3，b2=a2-c2=2.所以所求椭圆的标准方程为23x+22y=1.5.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，则Sn=.【答案】-1n【解析】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1·Sn，两边同时除以Sn+1·Sn，得11nS-1nS=-1，故数列1nS是以-1为首项，-1为公差的等差数列，则1nS=-1-(n-1)=-n，所以Sn=-1n.6.已知椭圆C：22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.23x+22y=1B.23x+y2=1C.212x+28y=1D.212x+24y=1【答案】A【解析】根据题意，因为△AF1B的周长为43，所以AF1+AB+BF1=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=43，所以a=3.又因为椭圆的离心率e=ca=33，所以c=1，所以b2=a2-c2=3-1=2，故椭圆C的方程为23x+22y=1.【换元法】换元法换元法又称辅助元素法、变量代换法.通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来、隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现.例1已知函数f(x)=sinxcosx-12sinπ2-3x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在π02，上的最大值与最小值.【解答】(1)f(x)=sinxcosx-12sinπ2-3x=12sin2x-1sin2coscos2sin233xx=12sin2x-14sin2x+34cos2x=14sin2x+34cos2x=12sinπ2+3x，则f(x)的最小正周期为π.(2)令t=2x+π3，则f(t)=12sint，因为x∈π02，，所以t=2x+ππ4π333，，所以sint∈3-12，，所以f(t)∈3142，.则f(x)在π02，上的最大值为12，此时2x+π3=π2，即x=π12；f(x)在π02，上的最小值为-34，此时2x+π3=4π3，即x=π2.例2已知函数f(x)=22x-52·2x+1-6.(1)当x∈[0，4]时，求f(x)的最大值和最小值；(2)若x∈[0，4]时，f(x)+12-a·2x≥0恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1)因为f(x)=(2x)2-5·2x-6，设2x=t，因为x∈[0，4]，则t∈[1，16]，所以f(x)=h(t)=t2-5t-6，t∈[1，16].因为当t∈512，时，函数h(t)单调递减；当t∈5162，时，函数h(t)单调递增.所以f(x)min=h52=-494，f(x)max=h(16)=170，即为所求最大值和最小值.(2)因为f(x)+12-a·2x≥0恒成立，设t=2x∈[1，16]，所以a≤t+6t-5恒成立.令g(t)=t+6t-5，则g(t)在[1，6]上单调递减，在[6，16]上单调递增，所以g(t)min=g(6)=26-5，所以a≤g(t)min=26-5，所以a的取值范围是-26-5，.【对应训练】1.已知f21x=lgx，则f(x)的解析式为.【答案】f(x)=lg2-1x(x1)【解析】令t=2x+1，则x=2-1t，t1，所以f(t)=lg2-1t，所以f(x)=lg2-1x(x1).2.函数y=x+41-x的值域是.【答案】(-∞，5]【解析】设t=1-x，t≥0，则x=1-t2，所以原函数可化为y=1-t2+4t=-(t-2)2+5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(-∞，5].3.已知x，y满足x2+y2+2x-4y+1=0，则z=x+y的最大值为.【答案】1+22【解析】方程x2+y2+2x-4y+1=0可化为(x+1)2+(y-2)2=4，它表示圆心为(-1，2)，半径为2的圆，故可设x=-1+2cosθ，y=2+2sinθ，则z=x+y=2cosθ+2sinθ+1=22sinπ4+1，故z的最大值为1+22.4.函数f(x)=log2x·lo2g(2x)的最小值为.【答案】-14【解析】f(x)=12log2x·2(log2x+1)=(log2x)2+log2x.令t=log2x，则f(t)=t2+t，当t=-12，即x=22时，f(x)取