873.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(用)

•1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有___________的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_________单位向量长度(或模)为___的向量零向量长度(或模)为___的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线_________________，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b共面向量平行于同一个______的向量叫做共面向量大小和方向长度或模10相同相等相反相等互相平行或重合平面ababOABb结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。思考：空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？O′说明⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广．2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。五、共线向量:零向量与任意向量共线.1.空间共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.空间共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使baobba//),(,ba由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题中点公式：若P为AB中点,则12OPOAOBOABP3.A、B、P三点共线的充要条件A、B、P三点共线APtABA(1)OPxOyOBxy六、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abbyxpab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCp2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，pxaybabpab则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y使abABPpCOAabBCPp'C3.空间四点P、A、B、C共面存在唯一实数对,,（）使得xyAPxAByAC(1)其中，OPxOAyOBzOCxyz•4.空间向量的有关定理及推论内容定理对于空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb共线向量定理推论如图所示，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta①其中向量a叫做直线l的方向向量，在l上取AB→＝a，则①式可化为OP→＝OA→＋tAB→或OP→＝(1－t)OA→＋tOB→内容定理如果两个向量a、b________，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb共面向量定理推论空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→或对空间任意一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→空间向量基本定理如果三个向量a、b、c_______，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个_____，a、b、c都叫做_________不共线不共面基向量基底2.空间向量的有关定理及推论共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用//R,abab(0)bA,P,B三点共线APABOPOAABOPmOAnOB(1)mn判断三点共线,或两直线平行,,pabpxayb共面(,)ab不共线P,A,B,C四点共面APxAByACOPOAxAByACOPxOAyOBzOC(1)xyz(A,B,C三点不共线)判断四点共面,或直线平行于平面三、空间向量的运算：1.数量积的定义：cos||||baba2.向量的夹角定义：AOBbOBaOA则,,共起点与ba3.向量的垂直：90ab4.投影：cos||b.方向上的投影在叫做ab5.数量积的几何意义：数量积等于的长度与在aba||aba的方向上的投影的乘积.||cosb6.数量积的运算律：(1)(2)()()()(3)()abbaababababcacbc7.数量积的主要性质:(,)ab设是两个非零向量(1)0;abab22(2)||aaaa2||aaaa(3)cos;||||abab(4)||||||abab≤(判断两个向量是否垂直)(求向量的长度(模)的依据)(求两个向量的夹角)(向量不等式)8.空间向量的直角坐标运算.设,则123123(,,),(,,)aaaabbbb112233(1)(,,);abababab112233(2)(,,);abababab123(3)(,,)(R);aaaa112233(4);abababab112233(5)//,,(R);abababab112233(6)0.abababab222123(7)||;aaaaaa112233222222123123(8)cos,;||||ababababababaaabbb设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则ABOBOA222111(,,)(,,)xyzxyz212121(9)(,,).ABxxyyzz一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.(10)222212121||()()().ABxxyyzzM=(x,y,z),若M是线段AB的中点，121212(11),,.222xxyyzzxyz