第三章 截面图形的几何性质

平面图形的几何性质oyz一、定义dAyz图形对z,y轴的静矩为：AzydAsAyzdAs静矩可正，可负，也可能等于零。单位为：§3-1静矩和形心333mmcmm、、yzOdAyz平面图形的形心C坐标公式为：zcAAydASyzAAAzdASzyA图形对形心轴的静矩等于零。如图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。yAszzAsyy二、组合图形图形各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于整个图形对于同一轴的静矩。由几个简单图形组成的平面图形称为组合图形——第i个简单图形的形心坐标),(iizy组合图形静矩的计算公式为iniizyAS1niiiyzAS1其中：——第i个简单图形iA计算平面图形的形心C坐标公式如下：niiniiiAyAy11niiniiiAzAz11例1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的z轴的静矩。yzb(y)byhOdy解：取平行于z轴的狭长条，)()(yhhbyb易求yyhhbAd)(d因此所以对x轴的静矩为6d)(d20bhyyyhhbAyShAz1010o80取y轴和z轴分别与截面的底边和左边缘重合解：将截面分为1，2两个矩形12y1z12yz2zyAAyAyAAyAniiniiiy21221111AAzAzAz212211例试确定图示截面形心C的位置。1010o8012y1z1y2z2zy矩形1mmA21120012010mmy51mmz601矩形2mmA227007010mmy45270102mmz521010o8012y1z1y2z2zy),(zyC所以40mm190075500AAzAzAz20mm190037500AAyAyAy212211212211例试计算图示T型截面的形心位置。解：zC=0，只需计算yCCCzyyCzCCCzzCyy60206020将截面分为I、II两个矩形，建立如图所示坐标系。各矩形的面积和形心坐标如下：220mm60mm=1200mmAA10mmCy50mmCy22221200mm10mm+1200mm50mm30mm1200mm1200mmiiCCCCiAyAyAyyAAA于是：yzOdAyz定义：截面对O点的极惯性矩为dAA2pI§3-2惯性矩和惯性积AzAyyIzIdAdA22图形对y,z轴的惯性矩分别为因为22z2yyz0dAyzdA2ApI所以zypIIIAIiAIizzyy,图形对y,z轴的惯性半径为zdAIyzyA图形对y,z轴的惯性积为惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，也可能等于零。。图形的对称轴，若y,z两坐标轴中有一个为则图形对y,z轴的惯性积一定等于零yzyyzdA例试计算图示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）z和y的惯性矩Iz和Iy，及其惯性积Iyz。zdzydyyzbhO解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素，则ddAby32222dd12hhzAbhIyAbyy同理32222dd12bbyAbhIzAhzz因为z轴（或y轴）为对称轴，故惯性积0yzI例试计算图示圆形截面对O点的极惯性矩IP和对于其形心轴（即直径轴）的惯性矩Iy和Iz。yzddO解：建立如图所示坐标系，取图示微元dA,d2πdA4222P0πd(2πd)32dAdIA由于圆截面对任意方向的直径轴都是对称的，故yzII4Pπ264yzIdII所以矩形：hbyz圆形：yzd123bhIz123hbIy644dIIyz324dIpz空心圆形：ydD)1(64644444DdDIIzy)1(3244DIpDd常见图形的惯性矩yzoC(a,b)ba一、平行移轴公式yc,zc——过图形的形心c且与y,z轴平行的坐标轴（形心轴）（a,b)_____形心c在yoz坐标系下的坐标。zcycy,z——任意一对坐标轴C——图形形心§3-3平行移轴公式Iyc,Izc,Iyczc——图形对形心轴yc,zc的惯性矩和惯性积。Iy,Iz,Iyz_____图形对y,z轴的惯性矩和惯性积。yzoC(a,b)bazcyc则平行移轴公式为AaIIyCy2AbIIzCz2abAIIzyCCyz已知：123bhIcy解：Cyczcbhy求：yI32123232bhbhhbhAaIIcyy【例题】二、组合图形的惯性矩惯性积——第i个简单图形对y,z轴的惯性矩、惯性积。yziziyiIII组合图形的惯性矩，惯性积nizizII1niyziyzII1niyiyII1例求梯形截面对其形心轴yc的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴zc上。取过矩形2的形心且平行记作y轴。于底边的轴作为参考轴，所以截面的形心坐标为140201A801z201002A02z2014010020zcycy12mmzAAzAzA7.46212211z2014010020y12zzcyc2317.46801402014020121ICy2327.462010020100121ICy46211011.12mmIIICCCyyy