第四章 线性方程组的解

第四章线性方程组(1)线性方程组的求解(2)方程组解向量的判别及解的性质(3)齐次线性方程组的基础解系(4)非齐次线性方程组的通解结构(5)两个方程组的公共解、同解问题线性方程组常见题型1.线性方程组表示形式mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111.,为方程组的常数项为方程组的系数其中kijba.,0;,0则方程组为非齐次的若则方程组为齐次的若kkbb方程组的矩阵形式：bAx方程组的向量形式：bxxxnn2211结论.:,下列四个命题等价对于bAx)1(有解bAx,,,)2(21线性表示可由nb),,,(),,,,()3(2121等价与向量组nnb),,,(),,,,()4(2121nnrankbrank的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组)1(,0,0,0221122221211212111xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn一、齐次线性方程组)2(.)1(,,21212222111211OAxxxxxaaaaaaaaaAnmnmmnn式可写成向量方程则2.齐次线性方程组AxO结论1..)(nArankOAx有非零解结论2..)(nArankOAx只有零解)0,(AA则为方阵若.,),,(,),,(211211的解仍是则的解是若OAxOAxllkknn.,,),,(1的解仍是则的解是若OAxROAxkkn结论3.结论4.求AxO的通解的步骤(1)将系数矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵;,,)()2(方程组只有零解时当nArank)3(,)(转到时当nArank(3)列出含有自由未知数的同解方程组;(4)将自由未知数用基本单位向量代入可得基础解系;.)5(2211rnrnkkkx写出通解第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵;0000000000100010001,1,,21,2,11,1ccccccnrrrnrnrA（１）求齐次线性方程组的基础解系:,,,,,,,)(21可按下面步骤进行不妨设为个解向量解系含线性无关的那么方程组的一个基础程组中未知数的个数为而方的秩若齐次线性方程组rnrnnrAROAx即个分量的第于是得号个分量反列前将第第二步,,,2,1,,,,,2,1:21rrnrrrn;,,,,,2,11,2,22,121,1,21,11cccccccccnrnnrnrrrrrrrr第三步：将其余个分量依次组成阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系.100,,010,001,,2,12,2,22,121,1,21,11cccccccccnrnnrnrrrrrrrrrnrn)4()3(,,,22112222212111212111bAxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn可写为向量方程非齐次线性方程组二、非齐次线性方程组3.非齐次线性方程组Axb结论1.).()()(BrankArankbAx有解相容结论2.).()()(无解不相容bAxBrankArank结论3.).()()(的列数有唯一解AnBrankArankbAx结论4..,2121的解为对应的齐次方程组则的解都是及设OAxxbAxxx结论5..,,的解仍是方程组则的解是的解是方程组设bAxxOAxxbAxx结论6..*,0,*xbAxAxbAx的通解为则的通解是的一个特解是若的步骤求解bAX(1)将增广矩阵进行初等行变换得阶梯形矩阵;(2)判断:),()(BrAr方程组无解.,)()(nBrAr方程组有唯一解.,)()(nBrAr方程组有无穷多解.(3)写出含有自由未知数的同解方程组;(4)令自由未知数全为0得一个特解*,并求出AxO的基础解系.(5)写出通解.11rnrnkkx（２）求非齐次线性方程组的特解.,,,)()(矩阵使其成为行最简形进行初等行变换增广矩阵那么对数为而方程组中未知数的个的秩若非齐次线性方程组BnrBRARbAx,000000000000100010001,1,2,21,21,11,1dccdccdccrnrrrnrnr,0021dddr即为所求非齐次线性方程组的一个特解．将上述矩阵中最后一列的前个分量依次作为特解的第个分量，其余个分量全部取零，于是得rrnr,,2,14.关于方程个数与未知数个数相同时的几个结论结论1.如果线性方程组的系数行列式不等于0，则方程组一定有解，且解是唯一的.结论2.如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为0.结论3.如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组只有唯一零解.,0A结论4.如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式.0A例1.求解下列方程组0334506220323073325432154325432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：13345622103112373321A00000000006221051101123115226100010001xkkk.332211kkk),,(321Rkkk三、典型例题讲解1.求方程组的解123412312340.20.33420xxxxxxxxxxx例2求齐次线性方程组的基础解系及通解.解1111(1)11203342A21rr11110011313rr001132rr111100110000A12rr001010001102A()24,rAn.原方程组有基础解系(2)求对应的同解方程组0Ax0Ax41432200xxxxx24,xx取作为自由未知量243412xxxxx2410:,;01xx令1312:,;01xx121210,.0101________.基础解系(3):通解12112212341210,0101xxxkkkkxx12,.kkR例3.解线性方程组337713343424313214314321xxxxxxxxxxxxx解：33707101133110143412B0000061000802103110100000610008021030101313xx3228xx64x33xx4321xxxx608301213x)(01216083Rkk例4判断非齐次线性方程组.3222,2353,132432143214321xxxxxxxxxxxx解123rr132rr322122351311321A11321054010540123rr1045011321000022)(AR故方程组无解.是否有解，若有求出方程组的解3)(BR例5解线性方程组0821145673342432143214321xxxxxxxxxxx解123rr144rr0821145167331421B314210164031812233rr44610314210000)1(2r000004461031421212rr000004461010169为自由未知量43,xx13cx令24cx令13cx24cx2x16c24c1x116c29c所以通解为为任意常数其中21,cc4120111142121216491611ccccccx解向量)(一般解12312312321.,2,(1);(2);21(3),.axxxaxaxxxaxx例讨论取何值时线性方程组有唯一解无解有无穷多解并求通解.解1121121211aAbaa11201123aaa00(1)aa(1)(31)aa三、典型例题讲解3.方程组是否有解的判定(1)01,()()3,aarArBn当且时原方程组有唯一的解；(2)0,()23(),arArB当时原方程组无解；(3)1,()()23,1arArBa当时原方程组有无穷多解，将代入阶梯形矩阵，继续化阶梯形为最简形0100100011120101000012rr10131231301.10xxxkkRx通解，例2设有线性方程组问取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解;（3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxxA1113111011131rr0111311111112rr13)1(rr22203011123rr)3)(1()3(0030111时当0)3()1(方程组有惟一解3)()(ArAr时当0)2()()(ArAr方程组无解3)3(当32)()(ArAr方