第四章 综合指标(二)

《统计学》讲义第四章综合指标（二）.四、几何平均数（第96～99页）.（一）几何平均数的概念和应用场合（二）几何平均数的计算方法（三）几何平均数的特点（四）几何平均数、算术平均数和调和平均平均数的关系.（一）几何平均数的概念和应用场合nxxxxGn321nnxxxxxG321n它是分布数列中n个单位标志值连乘积的n次方根。设有n个单位的标志值分别为：x1x2x3……xn，则几何平均数为:它适合于计算现象的平均比率或平均速度。凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象，都适合用几何平均法。（二）几何平均数的计算方法（第92～95页）几何平均数根据所掌握的资料不同，其计算也分为简单几何平均数和加权几何平均数两种方法。（适用于计算未分组数列的平均比率或平均速度）..1.几何平均数（G）的概念。2.应用场合：式中，G：几何平均数；x：各单位标志值；n：标志值的个数；∏：连乘符号。1.简单几何平均数其计算公式如下：年份200220032004200520062007钢产量9400a010110a110757a211559a312426a412850a5各年（环比）发展速度（％）—107.55106.4107.46107.50103.4233aax011aax122aax344aax455aax0554321aaxxxxx4554321aaxxxxx某钢厂2003～2007年钢产量各年（环比）发展速度资料如表4-16：试计算2002～2007年钢产量年平均发展速度。（钢产量：吨）各个分速度之和总速度.各年发展速度的连乘积解：nxxxxxnn21该现象的总量106.45%1.03411.07501.07461.06401.07555nxxxxGn321某种现象的各个分量的总和=≠（算术）总速度=.fffffxxxxGnn321321环比发展速度（％）时期102104981031996年～1999年1999年～2004年2004年～2005年2005年～2007年fffffxxxxGnn321321（适用于计算分组数列的平均比率或平均速度）即当标志值的次数不同时，几何平均数的计算需要用加权法。即：式中：f：标志值的次数试计算1996～2007年该产品产量年平均发展速度。解：..例如：企业1996～2007年某产品产量发展速度资料如表4-172.加权几何平均数次数f%102.711.030.981.041.022153113521xnxxxxGn321HGx（三）几何平均数的特点：1.它易受极端标志值的影响。2.当数列（总体）中某一标志值为零或为负数时，则无法计算几何平均数。（四）几何平均数、算术平均数和调和平均数的关系..三种平均数有其各自的应用条件和特点，但是从数量关系上看，存在某些规律性的东西。对同一资料分别用三种方法计算，其结果是算术平均数最大，几何平均数次之，调和平均数最小。只有当所有变量值都相同时，三者结果才相等。三者关系式用不等式表示，即：五、众数和中位数（第99～106页）..算术平均数、调和平均数和几何平均数是根据总体各单位标志值计算的，所以称为数值平均数。众数和中位数不是根据总体的全部标志值计算的，而是根据与其所处的特殊位置有关的一部分标志值计算的，所以，众数和中位数是两个位置平均数。（一）众数（二）中位数（一）众数（第99～102页）众数就是分布数列中最常出现(频数或频率最大)的标志值。数列中最常出现的标志值说明该标志值最具有代表性，因此可以之反映数列的一般水平。例如：某集市某种商品价格及商户资料如表4-18，试问该种商品的平均价格。2.确定众数的方法。确定众数的方法⑴由单项式数列确定众数（见表4-18）⑵由组距式数列确定众数（见表4-19）..1.众数的概念。商品价格（元/斤）商户数（户）1.51.61.82.22.4141532合计25表4-18由组距式数列确定众数先确定众数组，即次数最多的一组，而后运用公式计算众数的近似值。见右表4-17fx商品价格为1.8元/斤便是众数。（注意按算术平均数计算的方法）众数dΔΔΔUdΔΔΔLM2122110dΔΔΔLM2110由组距式数列确定众数先确定众数组，即次数最多的一组，而后运用公式计算众数的近似值。见右表4-19试计算众数。..式中：L,U：众数所在组的下限和上限；△1：众数组频数与其前一组频数之差；△2：众数组频数与其后一组频数之差；d：众数所在组的组距。（元）1551.82006001050480105048010501400农民家庭按年人均纯收入分组（元）家庭数（户）1000～12001200～14001400～16001600～18001800～20002000～22002200～24002400～2600240480105060027021012030合计3000fm-1fmfm+1dffffffLM)()()(1mm1mm1mm0L3.众数的特点和应用条件。众数的特点：它是一种位置平均数，不受极端标志值或开口组的影响。所以，当总体出现极端标志值时，众数比算术平均数更能反映总体各单位标志值的一般水平。众数的应用条件：在分配数列中，当标志值的次数有明显集中趋势的情况下，才能确定众数。所以，在分配数列中，当标志值的次数没有明显集中趋势或呈均匀分布的情况下，不存在众数众数。如前例。..商品价格（元/斤）商户数（户）xf甲1.51.61.82.22.4141532合计25表4-20另外，有些分配数列，还存在双众数的情况。f乙f丙56554255555525（二）中位数（第102～106页）将分布数列中各单位标志值依其大小顺序排列，位于中间位置的标志值称为中位数（Me）。中位数的概念表明，数列中有一半单位的标志值小于中位数，一半单位的标志值大于中位数。例如，有9名工人，每人的日产零件数按从低到高的顺序排列如下：15、17、19、20、22、23、23、24、25。则中位数为22件/人。这个数字反映了工人总体日产零件数的一般水平。因为中位数的确定仅取决于它在数列中的位置，所以它不受少数极端标志值的影响，在这一点上它优于算术平均数。因此某些场合，用中位数来表示现象的一般水平比算术平均数更有代表性。例如，在居民收入悬殊的国家，用居民年收入的中位数比（用算术平均数计算的）平均年收入更能代表多数居民年收入的水平。2.中位数的特点：..⑵中位数的数学性质:就是总体各单位标志值与其中位数的绝对离差的总和是一个最小值。即：∑|x－Me|＝最小值1.中位数的概念。⑴它是一种位置平均数，不受极端标志值或开口组的影响。3.确定中位数的方法。确定中位数的方法⑴由未分组数列确定中位数⑵由分组数列确定中位数（单项数列和组距数列）⑴由未分组数列确定个标志值第21nMe中位数根据下列公式确定：..确定中位数时要注意n为奇数和偶数的不同。Me=第（7+1）/2个标志值=第4个标志值=22（件）如工人日产量日产量（件）：17、19、20、22、23、23、24。又如工人日产量（件）：17、19、20、22、23、23、24、25。Me=第（8+1）/2个标志值=第4.5个标志值=22.5（件）⑵由分组（组距）数列确定中位数。中位数中位数22.5步骤：求中位数位置=2f为总体单位数之和）（f计算各组的累计次数（向上或向下累计次数）；根据中位数位置找出中位数工资额（元）x工人数（人）f向上累计向下累计46052060070085051518102520384850504530122合计50--中位数位置=50/2=25说明：中位数在累计次数为25的那一组即Me=600①由单项数列确定中位数dfSfUM2em1mdfSfLMm1me2式中：L：中位数所在组的下限；∑f：数列的频数总和；fm：中位数所在组的频数；Sm-1：中位数所在组之前那组的向上累计频数；Sm+1：中位数所在组之后那组的向下累计频数；∑f/2：中位数的位次。由下表4-20计算中位数。②由组距数列确定中位数求中位数位置=2f计算各组的累计次数（向上或向下累计次数）；用比例插值法确定中位数，计算公式有：下限公式（向上累计时用）上限公式（向下累计时用）dfSfLMm1me2..农民家庭按年人均纯收入分组（元）户数（户）1000～12001200～14001400～16001600～18001800～20002000～22002200～24002400～2600240480105060027021012030合计3000Sm240表4-211400+230001050200=1548.6（元／户）-720第1户第240户第241户第480户第481户第1770户Sm-1第1500户为中位数的位次720177023702640285028503000—解：向上累计次数（户）dfSfLMm1me22f150023000中位数所在组fm试用上限公式求中位数众数、中位数和均值的比较众数、中位数和均值的关系左偏分布均值中位数众数对称分布均值=中位数=众数右偏分布众数中位数均值六、平均指标的应用..应用平均指标应注意的问题有：1.社会经济现象的同质性。即各单位在被平均的标志上具有同类性。这是计算平均指标的基本前提，也是应用平均指标首先应遵循的原则。2.用分配数列补充说明平均数。即用分配数列说明总体的具体情况，以显示被平均数抽象掉的各单位差异及其分布。3.用组平均补充总体平均数。即平均指标与分组法相结合，以补充总平均数的不足。4.平均指标和变异指标相结合。即用平均数反映总体分布的集中趋势，用变异指标说明同总体的离散程度，以得出较全面的认识，同时评价平均指标的代表性高低。5.一般和个别相结合。平均数和典型事例相结合。..一、变异指标的概念二、变异指标的作用三、变异指标的计算方法第四节变异指标一、变异指标的概念（第111页)学生序号考分（分）xAxBxC甲乙丙丁戊6570758085687076808179859095100合计375375450（分）75Ax（分）75Bx（1）试计算A、B、C三个学生组的平均考分。（2）试问A、B两组那一组学生的平均考分更有代表性？（3）试问A、C两组那一组学生的平均考分更有代表性？表4-22标志变异指标（标志变动度）是反映分布数列（总体）中各单位标志值差异程度的综合指标。它从另一个角度反映总体的特征。平均指标是说明总体各单位某一数量标志一般水平的综合指标。它可以反映了总体变量（各单位标志值）分布的集中趋势。即它是反映总体的一个重要特征值。但是，平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化了，是总体各单位标志值的代表水平，它不能反映总体各单位标志值的差异情况，而实际上总体各单位标志值之间是存在差异的。..二、标志变异指标的作用（第111页）（分）75Ax⒈标志变异指标是衡量平均数代表性的尺度。标志变异指标与平均数的代表性成反比，表明总体各单位标志值的分散程度。即标志变异指标数值越大，平均数的代表性越小。⒉标志变异指标可以反映社会经济活动过程的均衡性或稳定性程度。⒊标志变异指标（标准差）还是抽样分析和相关分析的重要指标。如前例，A组学生考分：6570758085B组学生考分：6870768081(分)75Bx..●●●●●A组B组●●●●●注意：标志变异指标的作用是在与平均指标的结合中产生的，离开了平均指标，标志变异指标就失去了意义。而它与平均指标相结合，则可以全面反映总体的特征，并对平均指标的代表性做出评价。三、标志变异指标的计算方法（四）标准差（五）变异系数（三）平均差标志变异指标的计算方法（一）全距..（一）全距（第112页）它是标志值数列（总体）中最大值与最小值之差，又称“极差”。它说明标志值的变动范围，一般用R表示。全距（R）