定理与证明

1.定义：命题2.构成：1)每个命题都是由条件、结论两部分组成.判断一件事情的语句.2)命题常写成“如果······那么······”的形式.3.分类：2)假命题：错误的命题.1)真命题：正确的命题；判断下列命题的真假：1.过两点有且只有一条直线；2.如果两个角是同位角，那么这两个角相等；3.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；4.如果两个角互补，那么它们是邻补角；5.垂直于同一条直线的两直线平行.√√√××1.公理:人们在长期实践中总结出来的，并作为判定其他命题真假的根据.2.定理:用推理的方法得到的真命题.3.证明:除公理外，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理的过程叫做证明.举例：1.公理过两点有且只有一条直线.2)线段公理：两点之间，线段最短.4)平行线判定公理：同位角相等，两直线平行.5)平行线性质公理：两直线平行，同位角相等.1)直线公理：3)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.举例：2.定理：同角或等角的补角相等.2)余角的性质：同角或等角的余角相等.4)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；5)平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.1)补角的性质：3)对顶角的性质：对顶角相等②垂线段最短.举例：2.定理：内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.6)平行线的判定定理：7)平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等.两直线平行，同旁内角互补.思考•（1）一位同学在钻研数学题时发现：•2+1=3•2×3+1=4•2×3×5+1=31•2×3×5×7+1=211思考•（2）任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，正确吗？举例：3.证明：例1.已知：如图，a∥b,c是截线.求证：∠1=∠2123abc证明：∵a∥b()∴∠3=∠2()∵∠3=∠1()∴∠1=∠2()已知两直线平行，同位角相等对顶角相等等量代换命题证明的步骤：1.根据题意，画出图形；2.根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3.经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：1)垂直于同一直线的两直线平行；2)内错角相等，两直线平行；3)一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；4)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：1)垂直于同一直线的两直线平行；已知：直线b⊥a,c⊥aabc求证：b∥c根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：2)内错角相等，两直线平行；已知：如图，直线a、b被直线c所截,且∠1=∠2求证：a∥babc21根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：3)一个角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；ABOCEFG已知：如图，OC是∠AOB的平分线，EF⊥OA于F,EG⊥OB于G求证：EF=EG根据下列命题，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不写证明过程)：4)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.ABCDEFGH已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线求证：EG∥FH例2.证明：邻补角的平分线互相垂直.证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC∵∠AOB+∠BOC=180°练习：P108-2已知：如图，∠AOB、∠BOC互为邻补角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC求证：OE⊥OF12ACOEBF又∠AOB、∠BOC互为邻补角∴OE⊥OF∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC2121∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=90°21如何判断一个命题是假命题？只要举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但不满足结论就可以了.判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例：1)相等的角是对顶角；2)同位角相等；3)邻补角是互补的角；4)互补的角是邻补角；5)如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除；判断下列命题是真命题还是假命题.如果是假命题，举出一个反例：6)不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变；7)在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；8)两个锐角的和是锐角.小结：定理与证明1.命题证明的一般步骤2.命题的证明3.判断假命题的方法：(1)画图；(2)写已知、求证；(3)写推理过程.举反例