第七章 求矩阵特征值的数值方法和习题

1定义1设,)(nnijaA如果AAT，则称A为对称矩阵。定义2设nnijRaA)(是对称矩阵，且对,0nxRx，都有,10nTijijijxAxaxx，则称A为正定矩阵。1、预备知识2定理1．设nnijRaA)(，则下列条件等价（1）A为正定矩阵。（2）A的所有特征值都是正数。（3）A的各阶顺序主子式均大于零。定义3．设nnijCaA)(，且IAAT，则称A为正交矩阵。3定理2．关于正交矩阵有如下结论（1）单位矩阵是正交矩阵。（2）若A为正交矩阵，则TAA1。（3）若A为正交矩阵，则TA也是正交矩阵。（4）若A为正交矩阵，则1A或1A。（5）若BA,为同阶正交矩阵，则AB与BA也是正交矩阵。4定理3．为方阵A的特征值，则是方程0IA的根．注．显然，若为方阵A的特征值，则存在向量0x，使得：Axx，即齐次线性方程组0IAx有非零解．所以系数行列式0IA．同时可知，属于的特征向量是0IAx的非零解．5定理4．为方阵A的特征值，Pt是一个多项式，则P是证明：设1110......mmmmPtatatata，x是属于的特征向量．则：1110......mmmmPAaAaAaAaI，1110......mmmmPAxaAxaAxaAxax1110......mmmmaxaxaxaxPx即，P是PA的一个特征值PA的一个特征值．6定理5．为方阵A的特征值，若12,xx都是属于的特征向量，则：1122120axaxaa也是属于的特征向量．证明：112211221122AaxaxaAxaAxaxax，所以．1122axax是属于的特征向量．72．幂法幂法是计算实矩阵按模最大的特征值及其对应特征向量的一种迭代方法，主要适用于中小型矩阵和大型稀疏矩阵。设n阶矩阵A=)(ija有n个线性无关的特征向量12,,...,nxxx，对应的特征值分别是n,...,,21，按模排列为n...21，称1为矩阵A的主特征值。8对于任何初始向量0z，构造迭代序列：2120...kkkkzAzAzAz，又设01122...nnzaxaxax，(1,2,...,)jjjAxxjn，因此有：11121()njkkkjjjzaxax。所以,kz渐近于特征方向,但是kz可能无限增长或收敛于零．9例如，矩阵201011102A，取0101(,,)Tz，利用上述方法计算如下k0123456713713173-73-30701411244144-29kz11-1-9-31-79-161-24910任取初始向量001,zz，1max()1,2,/kkkkkkkyAzmykzym其中max()ky是ky中绝对值最大的分量（注意，不是绝对值！）．例如，231,,y，则3maxy．231,,y，则3maxy。为了控制kz的无限增长或收敛于零，利用如下幂法的计算格式．11于是，21200101......max()kkkkkkkkkkjjAzAzAzAzzmmmAzm，由此可得：11211121maxknjjjjkknjjjjaxaxzaxax，12max,,,...kkmAzk．12（1）当n...21时，由于11j，10kjk．故有11121111121max()maxmaxknjjjjkkknjjjjAaxaxmAzaxax，1311211111121maxmaxknjjjjknjjjjaxaxkaxax（主特征值），11121111121max()maxmaxknjjjjkkknjjjjAaxaxmAzaxax，14112111111210,max()maxknjjjjkknjjjjaxaxxzkaxaxax（主特征向量）．15（2）当12...n时，分三种情况进行讨论：①21（重根，12,xx都是主特征向量）时111223111112231max()max()maxmaxknjjjjkkkknjjjjAaxaxaxmyAzaxaxax，112221111112221maxmaxknjjjjknjjjjaxaxaxkaxaxax16在120aa时，这是一个主特征向量11223111223111221122maxmax()knjjjjkknjjjjaxaxaxzaxaxaxaxaxkaxax17②当21时，2是2A的主特征值，故212,limmax()kkAz．计算时，迭代可能发散，但是2111122kkkkkkkAzAymAzmmz212max()kkkAzmm，121kkmmk．18至于特征向量，由11122311112231maxknjjjjkknjjjjAaxaxaxAzaxaxax11122311112231maxknjjjjknjjjjaxaxaxaxaxax，19及1111223111112231maxknjjjjkknjjjjaxaxaxzaxaxax可得：111111222maxkkaxAzzkaxax122111222maxkkaxAzzkaxax（属于1和21的特征向量）20例1．用幂法求矩阵361641593642A的按模最大的特征值和对应的特征向量。解：取初始向量0111(,,)Tz，由1123max(),,,....../kkkkkkkyAzmykzym，迭代计算得k012345128.35718.16838.15668.15592719.98219.59719.57319.572ky5644.57143.92343.88343.88mk5644.57143.92343.88343.8810.21430.18750.1860.18590.185910.48210.44830.44620.4460.446kz111111特征值为88.431，对应特征向量为018590446010000(.,.,.)T。22反幂法又叫逆幂法，它是将幂法用于1A，从而求矩阵A按模最小的特征值及其对应特征向量的一种方法。为了避免求1A，通常利用解线性方程组方法．其迭代格式为，取初始向量001zz，1max()1,2,/kkkkkkkAyzmykzym3、反幂法23当nn121...时，有1knmk和max()nknxzkx。在实际计算时，可先进行矩阵A的三角分解LRA，则1kkLRyz。24例2．用反幂法求例1中矩阵的按模最小特征值．解：取初始向量(0)(1,1,1)Tz，由迭代格式112()()()()()max(),,,/kkkkkkkAyzmykzym，25迭代计算得k0123450.8752.04172.40712.47252.4825-0.25-1.298-1.679-1.748-1.758ky0.04170.35120.48340.50760.5113mk0.8752.04172.40712.47252.48251111111-0.286-0.636-0.697-0.707-0.708kz10.04760.1720.20080.20530.205926所以，特征值310402824825..，相应特征向量1070802059,.,.Tx。274、原点位移技术原点位移利用如下性质：设是矩阵A的特征值，cR，则c是AcI的特征值．事实上，设Axx，则：AcIxAxcxcx，所以，c是AcI的特征值．28取初始向量0z，迭代格式为112()max(),,.../ikkkkkkkAIyzmykzym。这里，1kiim，即1limiikkm．根据前面的讨论，可知最大特征值与次大特征值之比21越小，收敛越快．对于反幂法则是最小与次小特征值之比．29例3．用反幂法求例1中矩阵的在2.7附近的特征值解：取初始向量(0)(1,1,1)Tz，由迭代格式127()()()()().max()/kkkkkkkAIyzmyzym，迭代计算得30k01234527.3544.26244.38644.38544.38535.51757.07357.23657.23557.235ky-20.32-32.76-32.85-32.85-32.85mk35.51757.07357.23657.23557.23510.77010.77550.77550.77550.7755111111kz1-0.572-0.574-0.574-0.574-0.574特征值1272717557235...i,相应特征向量0775510574.,,.Tx。31习题七321设,nnRA是A的一个特征值，x是A的对应于的特征向量，求证：（1）是A的关于特征向量x的一个特征值。（2）是IA的关于特征向量x的一个特征值。（3）如果A非奇异，则1是1A的关于特征向量x的一个特征值。331设,nnRA是A的一个特征值，x是A的对应于的特征向量，求证：（1）是A的关于特征向量x的一个特征值。AxxAxx，于是是A的关于特征向量x的一个特征值。（2）是IA的关于特征向量x的一个特征值。()()AIxx是IA的关于特征向量x的一个特征值。34（3）如果A非奇异，则1是1A的关于特征向量x的一个特征值。由于A非奇异，所以0，由11AxxAxx，所以1是1A的关于特征向量x的一个特征值。352设)(ijaA的特征值),...,2,1(0nii，1是最大特征值，niiiaATr1)(，求证：（1）由于i是矩阵A的特征值，所以))...()((21nAI，比较两边1n的系数得到niiATr1)(。（1）niiATr1)(，（2）1)(limkkkATr。362设)(ijaA的特征值),...,2,1(0nii，1是