通信原理(第3章)

1通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的,而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示,具体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测(如能予测,则无需通信了)我们称这种具有随机性的信号为随机信号。通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随机干扰和随机噪声。尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。第3章随机过程2第3章随机过程研究什么？随机过程的基本概念随机过程的各种统计特性随机过程通过线性系统33.1随机过程的基本概念角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。随机过程是一类随时间作随机变化的过程。【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出噪声波形。()tt012()()()nttt样本函数i(t)：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。随机过程：(t)={1(t),2(t),…,n(t)}是全部样本函数的集合。随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数）是时间函数，所有实现（样函数）构成的集合称作随机过程的样函数空间（Ω），所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，我们以大写字母X(t)，Y(t)等表示随机过程，以对应的小写字母x(t)，y(t)等表示随机过程的实现（样函数）。43.1随机过程的基本概念随机过程的数学定义：设Sk(k=1,2,…)是随机试验。每次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作i(t)，所有可能出现的结果的总体{1(t),2(t),…,n(t),…}就构成一个随机过程，记作(t)。两层含义：随机过程(t)在任一时刻都是随机变量；随机过程(t)是大量样本函数的集合。简言之，无穷多个样本函数的总体称为随机过程。53.1随机过程的基本概念角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一个随机变量，记为(t1)。随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。63.1随机过程的基本概念3.1.1随机过程的分布函数设(t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值(t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。随机过程(t)的一维分布函数：(反应分布情况)11111(,)()FxtPtx随机过程(t)的一维概率密度函数：1111111(,)(,)Fxtfxtx73.1随机过程的基本概念任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量。随机过程(t)的二维分布函数：随机过程(t)的二维概率密度函数：212121122(,;,,)(),()FxxttPtxtx2212122121212(,;,)(,;,)Fxxttfxxttxx随机过程(t)的N维分布函数、N维概率密度函数：83.1随机过程的基本概念3.1.2随机过程的数字特征均值方差自相关函数协方差函数互相关函数数字特征93.1随机过程的基本概念均值（数学期望）1()(,)Etxfxtdx随机过程(t)在任意时刻t的数学期望为：()tt012()()()nttta(t)(t)的均值是时间的确定函数，常记作a(t)，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。103.1随机过程的基本概念方差222221()()()()()(,)()DtEtEtEtatxfxtdxat均值平方均方值所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。D[ξ(t)]常记为σ2(t)。定义2()()()DtEtEt113.1随机过程的基本概念随机过程的二维数字特征①自协方差函数式中a(t1)、a(t2)－在t1和t2时刻得到的(t)的均值；f2(x1,x2;t1,t2)－(t)的二维概率密度函数。12112211222121212(,)()()()()()()(,;,)BttEtattatxatxatfxxttdxdx②自相关函数1212122121212(,)()()(,;,)RttEttxxfxxttdxdx自协方差函数和自相关函数----用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性123.1随机过程的基本概念③自相关函数与自协方差函数的关系121212(,)(,)()()BttRttatat若a(t1)=a(t2)=0，则若t2t1，并令t2=t1+τ，则R(t1,t2)可表示为R(t1,t1+τ)。这说明：相关函数依赖于起始时刻t1以及t2与t1之间的时间间隔τ，即相关函数是t1和τ的函数。1212(,)(,)BttRtt即引入时间间隔τ，自相关函数可定义为R(t1，τ)=E[(t)(t+τ)]④归一化协方差函数—相关系数：若ρx(t1,t2)=0(或Cx(t1,t2)=0)，则称ξ(t1)和ξ(t2)不相关133.1随机过程的基本概念两随机过程的联合分布函数和数字特征令:X(t),Y(t)为两个随机过程①联合分布函数和概率密度n+m维随机向量的联合分布函数定义为：n+m维联合概率密度函数定义为：143.1随机过程的基本概念②互相关函数与互协方差函数则互协方差函数为互相关函数为153.1随机过程的基本概念例3-1试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差。解：xaxaaxf其它021)(2()()024aaaaxxExxfxdxdxaa2322()[()]()263aaaaxxaDxxatfxdxdxaa163.2平稳随机过程3.2.1平稳随机过程定义严平稳随机过程（狭义平稳）(,,,;,,,)(,,,;,,,)n12n12nn12n12nfxxxtttfxxxttt若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和所有实数τ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。173.2平稳随机过程平稳随机过程(t)的特点①一维概率密度函数与时间t无关，即f1(x1,t1)=f1(x1)②二维概率密度函数与时间起点无关，只与时间间隔τ有关，即f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;τ)③平稳随机过程的数学期望与时间无关adxxxfdxtxxftEta)(),()}({)(11④平稳随机过程的方差与时间无关212122)(][),()]([)}({)(dxxfaxdxtxftaxtDt⑤自相关函数只与时间间隔τ有关11111221212(,)[()()](,;)()RttEttxxfxxdxdxR183.2平稳随机过程广义平稳随机过程（宽平稳）12()(,)()ataRttR平稳随机过程的数学期望及方差与时间t无关，它的自相关函数和协方差函数只时间间隔τ有关；随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳。若随机过程(t)的数学期望及方差与时间t无关，其自相关函数只与时间间隔τ有关，即则称(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。注意：严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。193.2平稳随机过程3.2.2平稳随机过程各态历经性问题的提出：能否从一次试验中得到的一个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢?回答：具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。则称该平稳随机过程具有各态历经性。2-22-21()lim()1()()()()lim()()TTTTTTaaxtxtdtTRRxtxtxtxtdtT即203.2平稳随机过程“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。若随机过程X(t)的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等,则称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程.注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。21•例3-2设一个随机相位的正弦波为其中，A和c均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。【解】(1)先求(t)的统计平均值：数学期望)cos()(tAtc2021)cos()]([)(dtAtEtac20)sinsincos(cos2dttAcc0]sinsincos[cos22020dtdtAcc3.2平稳随机过程22自相关函数令t2–t1=，得到可见，(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t无关，只与时间间隔有关，所以(t)是广义平稳过程。0)(cos221]2)(cos[2)(cos2]}2)(cos[)({cos2)]cos()cos([)]()([),(1222012212212122212121ttAdttAttAttttEAtAtAEttEttRccccccc)(cos2),(221RAttRc3.2平稳随机过程23(2)求(t)的时间平均值比较统计平均与时间平均，有因此，随机相位余弦波是各态历经的。220)cos(1limTTcTdttATa22])(cos[)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222})22cos(cos{2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22)()(,RRaa3.2平稳随机过程243.2平稳随机过程3.2.3平稳随机过程自相关函数的性质R(0)=E[ξ2(t)]=Sξ(t)的平均功率R(∞)=E2[ξ(t)]ξ(t)的直流功率R(τ)=R(-τ)R(τ)是τ的偶函数|R(τ)|≤R(0)R(τ)的上界，即自相关函数在τ=0时有最大值R(0)σ2=R(0)–R(∞)方差，ξ(t)的交流功率设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]，具有下列性质：当均值为0时，有σ2=R(0)253.2平稳随机过程3.2.4平稳随机过程的功率谱密度一、功率谱密度的定义令:是实平稳随机过程X(t)，x(t)为其实现，因为X(t)功率信号，所以x(t)也为功率信号，因为任意的确定功率信号x(t)，它的功率谱密度Px(f)可表示成2()()limTxTxfPfT式中，xT(w)是x(t)的截短函数xT(t)之频谱函数。平稳随机过程X(t)的功率谱密度PX(f)为:2()()limTXTExfPfT263.2平稳随机过程平稳随机过程的功率谱密度Pξ(ω)与其自相关函数R(τ)是一对傅里叶变换关系，即：()()1()()2jjPRedRPe