梁的应力===============

第六章梁的应力１.纯弯曲梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。剪力“Fs”——切应力“τ”；弯矩“M”——正应力“σ”2.横力弯曲（剪切弯曲）aaFBAFMxFsxFaFF梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。一、纯弯曲和横力弯曲的概念§6-1梁横截面的正应力二、纯弯曲梁横截面上的正应力公式（一）变形几何关系：由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。1、观察实验：abcdabcdMM2、变形规律：⑴、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。⑵、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。3、假设：（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层--------称为中性层。中间层与横截面的交线－－中性轴（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压。梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。ＢAabcdＯＯ１yxdＢ１A１4、线应变的变化规律：(1)......ydxyoo1在弹性范围内，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理关系：由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。(2)......EyEabcdEyE应力的分布图：MZyσmaxσmax中性轴的位置？？中性层的曲率1为梁弯曲变形后的曲率1yxMZANdAF)1(00zzAASSEydAEdAyE（中性轴Z轴为形心轴）AydAzM)2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y轴为对称轴，自然满足）yzAσAzdAyM)3(MIEdAyEydAyEzAA2——弯曲变形计算的基本公式Z1EIM（三）、静力方面：由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式。zIMy弯曲正应力计算公式。弯矩可代入绝对值，应力的符号由变形来判断。当M0时，下拉上压；当M0时，上拉下压。梁的抗弯刚度。zEIyxMZyzAσ将上式代入式得：)(EyE——弯曲变形计算的基本公式Z1EIMZIMyZmaxmaxIMymaxZZyIWWz——截面的抗弯截面系数最大正应力的确定⑴截面关于中性轴对称zctWMmaxmax⑵截面关于中性轴不对称zttIMymaxmaxzccIMymaxmaxzz几种常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面maxZZyIW644ZdI323ZdW)1(6444ZDI)1(3243ZDW123ZbhI62ZbhW12123300ZbhhbI)2//()1212(03300ZhbhhbW工程中常见的平面弯曲是横力弯曲三、正应力公式的推广6-2实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度l与横截面高度h之比l/h5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲正应力公式ZIMy可推广应用于横力弯曲和小曲率梁1m2mBA截面关于中性轴对称zctWMmaxmaxmax截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)ZmaxmaxmaxIyM横力弯曲梁上的最大正应力FAYFBYBAl=3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C截面上K点正应力2.C截面上最大正应力3.全梁上最大正应力4.已知E=200GPa，C截面的曲率半径ρFSx90kN90kNmkN605.0160190CM1.求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832.51218.012.012bhIMPa7.61Pa107.6110832.510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）解：xm67.5kN8/2qlM2.C截面上K点正应力例BAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN3.C截面最大正应力C截面弯矩mkN60CM45Zm10832.5IMPa55.92Pa1055.9210832.510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2qlMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN4.全梁最大正应力最大弯矩mkN5.67maxM45m10832.5zIMPa17.104Pa1017.10410832.5102180105.676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2qlMBAl=3mFAYq=60kN/mFBYxC1m30zy180120KFSx90kN90kN5.C截面曲率半径ρC截面弯矩mkN60CM45Zm10832.5Im4.194106010832.510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2qlM例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,/6,1mkNqml№10槽钢q解：1）画弯矩图kNmqlM35.0||2max2）查型钢表：cmycmIcmbz52.1,6.25,8.414cmy28.352.18.423）求应力：1maxyIMzt6106.2552.13000MPa1782maxyIMzc6106.2528.33000MPa384MPaMPact384,178maxmaxbz1yy2yσcmaxσtmaxbz1yy2yM四、梁的正应力强度条件材料的许用弯曲正应力maxzWMmax中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁][tmaxt][cmaxcOzyytmaxycmax][ttmaxmaxtmaxzIyM][ccmaxmaxcmaxzIyM][][ctcmaxtmaxyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为弯曲正应力强度条件maxzWMmaxmax1、强度校核——2、设计截面尺寸——3、确定外荷载——max；maxMWz;maxzWMtmaxmaxmaxzttIyMcmaxmaxmaxzccIyM例图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知,kN5.62,m16.0,m267.0,1302Fbammd材料的许用应力.MPa60mm1601dFaFb（3）B截面，C截面需校核（4）强度校核（1）计算简图（2）绘弯矩图解：B截面：MPa5.41Pa105.4116.0322675.62326331maxdFaWMzBBMPa4.46Pa104.4613.0321605.62326332maxdFbWMzCCC截面：（5）结论:轮轴安全解：1)求约束反力.5.10,5.2kNFkNFBYAY)(5.2下拉、上压kNmMC（上拉、下压）kNmMB4例、T字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的[t]=30MPa，[c]=60MPa.其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，试校核此梁的强度。y2y1CCz1m1m1mABCD2.5kNm-4kNm2）画弯矩图AyFByFxkNF91kNF423）求应力B截面—（上拉下压）MC截面—（下拉上压）zCCtIyM2maxC截面—（下拉上压）:y2y1CCz1m1m1mABCDF2=4kNF1=9kNtt2.28maxcc2.46maxMPa2.281076310885.246zCCIyMc1maxMPa04.174)强度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4kNmxMB截面—（上拉下压）:,2.271076310524461maxMPaIyMzBBtMPaIyMzBBc2.461076310884462max最大拉、压应力不在同一截面上A1A2y2y1CCzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa结论——对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面：对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：maxMmaxmax;MMx2.5kNm-4kNmMMzybh§6-2梁横截面的切应力和切应力强度条件一、矩形截面梁横截面上的切应力1、假设：⑴横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。⑵切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、公式推导xdx图ayτQ0)(11dxbNNXzzAzAIMSydAIMdANzzISdMMN)(1zzszzbISFbISdxdM1AZyy由剪应力互等定理可知bISFzzssFMhdMMssdFFdx注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对z轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽度；为所求点对应位置以外的面积对Z轴的静矩。*zS5.123maxAQ)4(222yhIQz矩3、矩形截面剪应力的分布：)4(2)2(2222yhbyhbyhAySczbISFzzszyhbBsF)2(*yhbA*cymaxsF1沿截面高度按二次抛物线规律变化；(2)同一横截面上的最大切应力max在中性轴处(y=0)；(3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零。二、非矩形截面梁——圆截面梁切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应力分布与y轴对称；与y轴相交各点处的切应力其方向与y轴一致。)(*SybISFzzy关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离y的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点；2、这些切应力沿y方向的分量y沿宽度相等。yOmaxkk'O'd最大切应力max在中性轴处dISFzz*SmaxAFdF344π34S2SddddF64ππ324π2142SyOmaxkk'O'dyOC2d/31、工字形薄壁梁zzISFy*S)(假设://腹板侧边，并沿其厚度均匀分布)4()(8)(22220SyhhhbIFyz(0)max)2(minh腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。——下侧部分截面对中性轴z的静矩*zS三、薄壁截面梁2、盒形薄壁梁)4(2)(612)()(22220SSyhhhbIFISFyzzz3、薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1)dr0→沿壁厚切应力的大小不变；(2)内、外壁上无切应力→切应力的方向与圆周相切；(3)y轴是对称轴→切应力分布与y轴对称；与y轴相交的各点处切应力为零。最大切应力max仍发生在中性轴z上。yOmaxr0max2000*2π2πrrrSz302002pπ2π2drrrAIAzyzIIII2p30pπ21rIIz)2(π)2(23020S*SmaxrrFISFzzAFrFS0S2π0π2rAyOr0y2r0/OC薄