梁的应力与强度

梁的应力与强度一、工程实例5.3.1平面弯曲的概念工程实例工程实例二、平面弯曲概念受弯构件的轴线为平面曲线时的弯曲。梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。5.3.2梁的正应力1、实验现象的观察和分析1.变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线2.提出假设平面假设：梁的横截面在变形后仍为一平面，同时仍垂直于弯曲后的梁轴线；单向受力假设：梁在变形后，同一层的纵向纤维长度的伸缩相同推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层dx图（b）yzxO应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx1、变形几何关系图（c）dzyxO’O’b’b’ybbOOxbbdOO''OOdyyddd)(d)(ybb3、正应力公式推导2、物理关系所以MyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径??EεσyEσyzxOMdAyσdA3、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAzyAAAσFddNNFiyMizMAAyAzσMddAAzAyσMdd0（1）0（2）M（3）NdFyMdzMdAσd将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAiy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAizdMIEzMAyEAd2zEIM1yEσ将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyσM为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.讨论（1）应用公式时，一般将My以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.IyMσzmaxmax则公式改写为WMσmax引用记号—抗弯截面系数maxyIWzzy（3）对于中性轴不是对称轴的横截面ymaxcymaxtM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式ymaxtymaxczIMyσmaxcσtmaxσIMyσzmaxcmaxcIMyσzmaxtmaxt2）组合截面AaII2Z01）简单截面抗弯截面系数矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy32π2/64/π2/34ddddIWz62/12/2/23bhhbhhIWzDdαDW)1(32π431、矩形截面梁上的切应力5.3.3梁的切应力（1）两个假设（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布，即沿截面同一高度的切应力相等（距中性轴等距离处切应力相等）.q(x)F1F2zτmaxb矩型截面的宽度.bISFzzSyA*z整个横截面对中性轴的惯性矩.zI距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩（面积矩）.Sz（2）切应力沿截面高度的变化规律沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.Szyd1y1nBmAxyzOyA1B1m11d1AzAyS)4(2d2212/1yhbAbyhy)4(222SSyhIFbISFzzz可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值bhFbhhFIhFzS32S2Smax231288AF23Smax式中，A=bh为矩形截面的面积.z截面静矩的计算方法A为截面面积y为截面的形心坐标A1AzyAAySd2、工字形截面梁的切应力研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为HoyxbzhbISFzzS*yd—腹板的厚度OzyyA*dISFzzS—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.Sz*8)(822SmaxhbBBHbIFzminozymaxτmax（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.minmaxbhFS假设求应力的点到中性轴的距离为y.minmaxdISFzzS*maxmax式中:—中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩.Sz*maxydzO'k'Ok假设：（a）沿宽度k-k'上各点处的切应力均汇交于O'点；（b）各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3、圆形截面梁上的最大切应力Ozymax最大切应力发生在中性轴上ydzO'k'OkAFbISFzzS*Smax34式中为圆截面的面积.2π4dA4、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为，环的平均半径为r0，由于«r0故可假设（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b）切应力的方向与圆周相切.zyδ式中A=2r0为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为AFSmax2zyδmax1、正应力强度条件][maxmaxσWMσ梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.5.3.4梁的强度计算2、切应力强度条件][Smax*maxmaxbISFzz3、强度条件的应用][maxσMW（2）设计截面][maxσWM（3）确定许可载荷（1）强度校核][maxσWM对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的][][ctσσ且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的σσmaxcmaxt（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力][tmaxtσσ][cmaxcσσ需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短，M较小，而FS较大时,要校核切应力；（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差，要校核切应力.例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.ACBFa2a20φ30φ14FRAFRB+Fa解：（1）作出弯矩图的最大弯矩为Fa；（2）求惯性矩，抗弯截面系数433cm07.112)cm2)(cm4.1(12)cm2)(cm3(zI34maxcm07.11cmcm07.1yIWzz（3）求许可载荷][maxσWMzkN3][][aσWFσWFazz4、弯曲强度计算步骤80y1y22020120z例题2T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为[t]=30MPa，许用压应力为[c]=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：kN52R.FAkN510R.FB最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上mkN5.2MCmkN4MBB截面][MPa2.27t1maxtσIyMσzB][MPa2.46c2maxcσIyMσzBC截面][MPa8.28t2maxtσIyMσzC80y1y22020120zF例题3一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切应力[]=100MPa，试校核梁的强度.+37.5kN·m5mAB2.5mFC解：此吊车梁可简化为简支梁，力F在梁中间位置时有最大正应力.mkN5.37maxM（a）正应力强度校核由型钢表查得20a工字钢的3cm237Wz所以梁的最大正应力为][MPa158maxmaxσWMσz+FSmax5mABFC（b）切应力强度校核在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.kN30RmaxSFFFA查型钢表中，20a号工字钢，有cm2.17*maxSIzzd=7mm][MPa9.24*maxmaxSmaxdISFzz据此校核梁的切应力强度以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.例题4简支梁AB如图所示.l＝2m，a＝0.2m.梁上的载荷为q为10kN/m，F＝200kN.材料的许用应力为[]=160MPa，[]＝100MPa，试选择工字钢型号.解：（1）计算支反力做内力图.qBACDElFFaa8kN210kN208kN41.8kN·m41.8kN·m45kN·m（2）根据最大弯矩选择工字钢型号363maxcm281101601045][MWz查型钢表，选用22a工字钢，其Wz＝309cm3FRAFRB（3）校核梁的切应力腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN查表得,cm9.18*maxzzSIMPa100][MPa1481075.0109.1810210223maxmaxSmaxbISFzzτmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进行试算查表得,cm9.18*maxzzSId=1cmMPa100][MPa6.98101103.2110210223max所以应选用型号为25b的工字钢.5.4梁的合理强度设计一、降低梁的最大弯矩值1.合理地布置梁的荷载按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件][maxmaxσWMσzFlFl/4Fl/8Fl/4l/4l/22.合理地设置支座位置当两端支座分别向跨中移动a=0.207l时，最大弯矩减小.aalq0.0214ql2lqql2/2二、增大Wz1.合理选择截面形状在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面32π31DWz)2/(π,4π1221DaaD13221.186)π(6zzWRbhWzDzaaa12a1z112121π2,24πDaaD1312367.1646zzWabhW工字形截面与框形截面类似.1222222105.1,6.18.024πDaaaD1457.4zzWW0.8a2a21.6a22a2z2.合理的放置FbhWW21bh1231bhWbh1232hbW2.对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截面且将翼缘置于受拉侧.三、根据材料特性选择截面形状1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面.zy1y2cmaxtmax要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力[][]max1t1max2c2zzyMyσIyMyσItmaxcmax四、采用等强度梁梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为等强度梁.例如，宽度b保持不变而高度可变化的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得.bh(x)zFl/2l/2梁任一横截面上最大正应力为][)()61()2()()(2maxσxbhxFxWxMσ求得][3)(σbFxxh但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面