梁的应力计算

第六章梁的应力§6-2梁的正应力强度条件及其应用§6-3梁的合理截面形状及变截面梁（工程上提高弯曲强度的一些措施）§6-4矩形截面梁的切应力§6-6梁的切应力强度条件§6-1梁的正应力（纯弯曲）回顾与比较内力NFA应力PITFSM??§6-1（纯弯曲）梁的正应力纯弯曲梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲目录§6-1（纯弯曲）梁的正应力一、几何方面dxaabbmnnm平面假设：横截面变形后保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度。§6-1（纯弯曲）梁的正应力m´a´a´b´b´m´n´n´d凹入一侧纤维缩短突出一侧纤维伸长中间一层纤维长度不变－－中性层中性层与横截面的交线－－中性轴目录设想梁是由无数层纵向纤维组成§6-1（纯弯曲）梁的正应力胡克定理EyE建立坐标二、物理方面dxaabbmnnmooy§6-1（纯弯曲）梁的正应力离中性层越远，线应变越大，曲率1/ρ（弯曲程度）越大，同一位置线应变越大。三、静力学方面Z1EIMFN、My、Mz§6-1（纯弯曲）梁的正应力EIZ——弯曲刚度正应力公式变形几何关系物理关系yEyE静力学关系Z1MEIZIMy为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径，§6-1（纯弯曲）梁的正应力(6-6)正应力分布ZIMyZmaxmaxIMymaxZMWZmaxZIWyMM•与中性轴距离相等的点，正应力相等；•正应力大小与其到中性轴距离成正比；•中性轴上,正应力等于零minZMW§6-1（纯弯曲）梁的正应力常见截面的IZ和WZ圆截面矩形截面空心圆截面空心矩形截面AdAyI2ZZmaxyzIW644ZdI332zdW)1(6444ZDI34(1)32zDW123ZbhI26zbhW12123300ZbhhbI33000()/(/2)1212zbhbhWh§6-1（纯弯曲）梁的正应力弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度h之比l/h5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。横力弯曲§6-1（纯弯曲）梁的正应力横力弯曲正应力公式ZIMymaxmaxmaxmaxZZMyMIW横力弯曲最大正应力§6-1梁的正应力•细长梁的纯弯曲或横力弯曲•横截面惯性积IYZ=0•弹性变形阶段公式适用范围例6-1§6-1梁的正应力长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知，h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。解：先算出C截面上的弯矩mN103m2N105.1aFM33C截面对中性轴（水平对称轴）的惯性矩为：44333Zm10583.012m18.0m12.012bhI例6-1§6-1梁的正应力长为l的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F，已知，h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m,a=2m，F=1.5kN。试求C截面上K点的正应力。根据公式：代入公式时，不考虑正负号。MPa09.3m06.0m10583.0mN103yIM443ZCKC截面弯矩为负，K点位于中性轴上面，所以K点应力为拉应力。弯曲正应力强度条件ZWmaxmaxmaxmaxzMyMσσI1.等截面梁弯矩最大的截面上2.离中性轴最远处4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑ttmax,ccmax,3.变截面梁要综合考虑与MzI§6-2梁的正应力强度条件及其应用根据弯曲正应力强度条件1.强度校核2.选择截面3.计算梁所能承载的最大荷载§6-2梁的正应力强度条件及其应用ZmaxmaxWMmaxZMWZmaxWMFAYFBYBAl=4mq=2kN/mxCxmMxm4kN8/ql2210140mkN48qlM2max1.求支反力kN4FAykN4FBy解：例题6-2§6-2梁的正应力强度条件及其应用[σ]=10MPa，试校核该梁的强度。2.求最大弯矩32222Zm10103.06m21.0m14.06bhW最大正应力为：MPa10MPa88.3m10103.0mN104WM323Zmaxmax满足强度要求。例题6-4§6-2梁的正应力强度条件及其应用简支梁上作用两个集中力，已知l=6m，F1=15kN，F2=21kN。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力[σ]=170MPa，试选择工字钢的型号。解：先画出弯矩图，最大弯矩发生在F2作用截面上，其值为38kN﹒m。根据强度条件，梁所需的弯曲截面系数为：33363maxZcm223m10223.0Pa10170mN1038MW例题6-4§6-2梁的正应力强度条件及其应用根据算得的WZ值，在附录型钢表上查出与该值相近的型号，就是我们所需的型号。注意：选择的工字钢型号WZ值一般要求≥计算值，才能满足强度要求。附录A，附表4，P232页。查出20a钢相近WZ值237cm3，故选择20a号工字钢。如选取的工字钢WZ值略小于计算值，则应再校核下强度，当σmax不超过[σ]的5%时，还是满足工程需要的。§6-2梁的正应力强度条件及其应用例题6-5一⊥形截面的外伸梁如图所示，已知l=600mm，a=40mm，b=30mm，c=80mm，F1=24kN,F2=9kN,材料的许用应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。试校核梁的强度。解：先画出弯矩图。需算出形心C的位置及截面对中性轴的惯性矩，算得结果为：45Z21m10573.0I,m038.0y,m072.0y§6-2梁的正应力强度条件及其应用因材料的抗拉与抗压性能不同，截面对中性轴又不对称，所以需对最大拉应力与最大压应力分别进行校核。（1）校核最大拉应力由于截面对中性轴不对称。而正负弯矩都存在，因此，最大拉应力不一定发生在弯矩绝对值最大的截面上。应该对最大正弯矩和最大负弯矩两个截面上的拉应力进行分析比较。§6-2梁的正应力强度条件及其应用在最大正弯矩的C截面上，最大拉应力发生在截面的下边缘，其值为在最大负弯矩的B截面上，最大拉应力发生在截面的上边缘，其值为2ZCmaxyIM1ZBmaxyIM§6-2梁的正应力强度条件及其应用在上面两式中，MCMB而y2y1，应比较MCy2与MBy1：2ZCmaxyIM1ZBmaxyIMCB232CmN103m038.0mN107.2yM231BmN129m072.0mN108.1yM因MCy2MBy1，所以最大拉应力发生在B截面上，即t64521ZBmax,tMPa5.2Pa105.22m10573.0mN129yIM满足强度要求。§6-2梁的正应力强度条件及其应用（2）校核最大压应力与分析最大拉应力一样，要比较C、B两个截面。C截面上最大压应力发生在上边缘。因MC、y1分别大于MB、y2，所以最大压应力一定发生在C截面上。即c4531ZCmax,cMPa9.33m10573.0m072.0mN107.2yIM满足强度要求。设计梁原则：强度条件：§6-3变截面梁形状及变截面梁满足强度条件经济性，尽量节省材料需要选择合理的截面形状和尺寸ZmaxmaxWM单从强度来看，WZ越大越合理。一、截面的合理形状WZ和截面形状和尺寸有关。在截面面积相同的情况下分析矩形、方形、圆形截面形状的合理性。§6-3变截面梁形状及变截面梁圆截面矩形截面方形截面b=h=a32a61W21bh61W33d321W（1）先比较矩形和正方形3221a61bh61WWAa61Ah61ahbhA2aA2d41A2abhbhah1WW21矩形截面更合理§6-3变截面梁形状及变截面梁（2）再比较正方形和圆形3332d321a61WW面积相等4da222da118.1WW32正方形截面比圆形截面合理说明在面积相等情况下，矩形方形圆形由此推断：工字型截面优于矩形截面。§6-3变截面梁形状及变截面梁换个角度思考：WZ值与截面高度和面积分布有关，截面高度越大、面积分布离中性轴越远的话，WZ值就越大，这也是工字型形梁更合理的主要原因之一。M从应力角度分析：§6-3变截面梁形状及变截面梁二、变截面梁BAl=4mq=2kN/mxCxmMxm4kN8/ql2变截面梁——横截面沿梁轴线变化的梁等强度梁——梁强度沿轴线均匀分布xWxMZmaxxMxWZ§6-3变截面梁形状及变截面梁当荷载比较复杂时，等强度梁难以加工，增加了加工制造成本，一般很少采用等强度梁。xMxWZ§6-3变截面梁形状及变截面梁BAlFAYFBYx2x1CFabMx§6-4矩形截面梁的切应力xdxxyPmq(x)ABmnm1n1分几种截面形状讨论弯曲切应力一、矩形截面梁切应力(//)sF1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力2、切应力沿截面宽度均匀分布关于切应力的分布作两点假设：Fsbhymnm1n1Op1q1pdxxyz§6-4矩形截面梁的切应力一、矩形截面梁bISFZZS切应力计算公式：（6-11）式中，FS-横截面上的剪力；IZ-截面对中性轴的惯性矩；b-截面的宽度；SZ-为面积A*对中性轴的静矩。A*是过欲求应力点的水平线到截面边缘间的面积。KFS、SZ均代绝对值，切应力方向依剪力方向确定。§6-4矩形截面梁的切应力二、矩形截面梁切应力分布bISFZZS公式中，对某一截面来说，FS、IZ、b均为常数，只有静矩是变量。0ZyAS2/y2hyy2hb22y4h2b§6-4矩形截面梁的切应力二、矩形截面梁切应力分布bISFZZS22Zy4h2bS12bhI3Z223Sy4hbhF6①抛物线②当y=±h/2,τ=0③当y=0,τmax中性轴上切应力最大，上下边缘为0，和正应力相反。§6-4矩形截面梁的切应力二、矩形截面梁切应力分布223Sy4hbhF64hbhF623Smaxbh2F3SAF23S矩形截面上最大切应力为平均切应力的1.5倍。§6-4矩形截面梁的切应力例6-6矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN。试求m-m截面上K点的切应力。解：首先求得m-m截面上的剪力为3kN，截面的惯性矩及面积A*对中性轴的静矩分别为：44333Zm10341.012m16.0m1.012bhI§6-4矩形截面梁的切应力例6-6矩形截面简支梁如图所示，已知，l=3m，h=160mm，b=100mm，h1=40mm，F=3kN。试求m-m截面上K点的切应力。330Zm1024.0m06.0m04.0m1.0yASK点的切应力为MPa21.0m1.0m10341.0m1024.0N103bISF44333ZZS§6-6梁的切应力强度条件•如前所述，对某一横截面来说，最大切应力发生在中性轴上，最大值为：bISFZmax,ZSmax•对全梁来说，最大切应力发生在剪力最大的截面上，即bISFZmax,Zmax,Smax强度条件为：bISFZmax,Zmax,Smax对梁校核时，要同时满足正应力、切应力强度条件，二者有主次，一般以正应力强度设计为主，选好截面后再通过切应力条件校核。§6-6梁的切应力强度条件解：分别检查正应力和切应力。最大正应力、最大切应力分别发生在最大弯矩与最大剪力的截面上，WZ、b及SZ,