第十章应力状态理论和强度理论

§10–1概述§10–2平面应力状态分析§10–3平面应力状态下的胡克定律§10–4三向应力状态§10–5强度理论及其应用第十章应力状态理论和强度理论§10–1概述§10–１概述一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP一般来说，在受力构件内，在通过同一点各个不同方位的截面上，应力的大小和方向是随截面的方位不同而按照一定的规律变化的。因此，为了深入了解受力构件内的应力情况并正确分析构件的强度，必须研究一点处的应力情况，即通过构件内某一点的各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，通常称为点的应力状态。二、一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。xyzsxszsytxy三、单元体：为了研究一点的应力状态，通常是在所研究的点的周围用六个截面截取出一个无穷小正六面体，称为单元体。xyzsxszsy四、剪应力互等定理（TheoremofConjugateShearingStress):过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相离。yxtttxty0:zM单元体平衡证明0)()(ydxdzdxdzdydyxttssPPssttmmPABCDEABCDE§10–2平面应力状态分析§10–2平面应力状态分析等价一、解析法sxtxsyxyztyxysxtxsyOty规定：s截面外法线同向为正；t绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为dA，由分离体平衡得：Fn00sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(ststsdAdAdAdAdAyyxx一、任意斜截面上的应力xysxtxsyOsytysxstxyOtn图2xtytFt00cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(ststtdAdAdAdAdAyyxx图1xysxtysyOsytysxstxyOtn图2tsssss2sin2cos22xyxyxtsst2cos2sin2xyx考虑剪应力互等和三角变换，得：同理：xt例1：分别用解析法和图解法求图示单元体的指定斜截面上的正应力和剪应力单位：MPasstsssssttsstxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.解：sstsssssttsstxyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa,MPaMPa,=30MPaMPacossinsincos.平面应力状态分析——图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx222222xyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）xysxtxysyOsytxysxstxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点D1(sx，tx)和D2(sy，ty)D1D2与s轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以D1C为半径画圆——应力圆；sxtxsyxyOnstOstCD1(sx,tx)D2(sy,ty)x2nE(s,t)sxtxsyxyOnstOstCD1(sx,tx)D2(sy,ty)x2nE(s,t)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(s，t)应力圆上一点(s，t)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2；且转向一致。OstCD1(100,40)D2(20,40)60例2：利用应力圆求下图在平面状态下，单元体斜截面ab上的应力。MPaMPaMPaMPayyxx4020401001tsts；；）解答：（2）做应力圆，MPaMPaoo72353030ts；E点对应的就是单元体所求的斜截面ab上的应力E主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss1s2s3xyzsxsysz主单元体、主平面、主应力单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。即平面应力状态三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxOCstD1(sx,tx)D2(sy,ty)xmintmaxt20s1s2A1A2B2B1四、在应力圆上标出极值应力222122xyyxyxROCtssssss）（半径22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半径2)2tan(111yxXoCBBDsstyxXosst2)2tan(D1’A2D1’的方向就是主应力σ1的作用方向，ODAA121指导思考题10.1（196页）例3：试求图示梁在C偏左横截面上的点a处的主应力值及作用面，已知横截面对应与z轴的Iz=88*106mm4,梁的自重不计。解：1）做弯矩图和剪力图2）取单元体，围绕所研究的点用相邻横截面和两个相邻水平纵截面取出单元体MPaIyMzaCx7.122101088)10135)(1080(12633sMPaIbSQzzx8.64)109)(101088(]10)5.7135(15120)[10200(312693maxmaxt解：1）做弯矩图和剪力图2）取单元体MPax7.122sMPax8.64t)(0不计挤压应力ysMPaxy8.64tt3）利用应力圆求主应力MPaOA15011sMPaOA2823s02s梁的主应力及其主应力迹线zzyxIbQS,tzxIMys12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：2,23122yxxxtssss）（1s1s3s33s1s3s1s1s350–45°0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot20stD2D1CD1O20=–90°sD2A1Ot20CD1A2stA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。s1s3qxy主应力迹线的画法：11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacds3s1§10–3平面应力状态下的胡克定律各向同性材料在平面应力状态下的应变（胡克定律）xyzsytxsx依叠加原理,得:)yxyxxEEEssss1tGsEGxxyt)yxxEss1)xyyEss1)yxzEvss各向同性材料在平面应力状态下的应变xyzsytxsx平面应力状态下胡克定律的表达式xyxGt)yxxEs21)xyyEs210zs)yxxEs21因为)xyyEs21解：xyxotsss245xyxotsss245tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyxxyxxyxEEEoootsstssss221454545胡克利用平面应力状态下的xyxxoE4521t所以§10–4三向应力状态弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：tmax231maxssts2s1xyzs31s2s3sst三向应力状态：指三个主应力均不等于零的那种应力状态。平面应力状态和单向应力状态均可视为三向应力状态的特例。•在三向应力状态情况下：ssmax1s1s2s3•τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45°角的平面上，以τ1，3表示ssmin3tssmax132最大切应力)32111sssE)13221sssE)12331sssE2、胡克定律各向同性材料在三向应力状态下的胡克定律3、体积应变321aaaV)1()1()1(332211aaaV321VVV体积应变：)(21321sssE体积应变与应力分量间的关系:可见：在小变形情况下各向同性材料在线弹性范围内工作，体积应变值与三个主应力之和有关。复杂应力状态下的变形)(31321ssssms2s3s1图a图cs3-sms1-sms2-sm体积变形的应力状态baE)(21321sss形状变形的应力状态0csm图bsmsm例1已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6，2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为v=0.3，试求该点处的主应力及另一主应变。03:s自由面上解MPavvE3.4410)1603.0240(3.011021016292121s所以，该点处的平面应力状态MPavvE3.2010)2403.0160(3.011021016291222s1s2s)669132103.3410)3.443.22(102103.0ssE;MPa3.20;0;MPa3.44321sssssPllP拉压变形能：UPlPPlEAPlEA121222所积蓄的弹性应变能：弹性比能：单位体积内uUVPlEAAlE222212ss4、弹性比能s1s2s3sss21u弹性比能：u121212112233sss332211212121sssu弹性比能：sssssssss112322313312111EEE（）（）（）33133221232221/,/)(221mJmmNEu即单位：sssssssss复杂应力状态下的弹性比能)(31321ssssms2s3s1图a图cs3-sms1-sms2-sm体积变形的应力状态baE)(21321sss形状变形的应力状态0csm图bsmsm变形比能=体积改变比能+形状改变比能u=uv+uf§10–5强度理论即应用材料破坏的形式主要有两类：][][maxmaxttss脆性断裂