通信原理--随机过程

北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析1第2章随机信号分析3.1引言3.2随机过程一般描述3.3平稳随机过程3.4平稳随机过程的相关函数与功率谱3.5高斯过程3.6窄带随机过程3.7正弦波加窄带高斯噪声3.8随机过程通过线性系统北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析23.1引言自然界中事物的变化过程确定性过程变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。随机过程变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。随机信号和随机噪声的基本概念随机信号：实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也是随机的，这种具有随机性的信号称为随机信号。随机噪声：携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染，而噪声也是随机的,称为随机噪声。北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析33.2随机过程的一般描述描述随机信号的数学工具是随机过程。随机过程的数学定义：设随机试验E的可能结果为ξ(t)，试验的样本空间S为{x1(t),x2(t)，…,xn(t),…}，xi(t)是第i次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作ξ(t)。两层含义：随机过程ξ(t)在任一时刻都是随机变量；随机过程ξ(t)是大量样本函数的集合。北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析4x1(t)x2(t)xn(t)ttt样本空间S1S2Sn(t)tk随机过程：无穷多个随机函数的总体在统计学中称作一个随机函数的总集（又称随机过程）北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析5其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1，ξ(t1)是随机变量。随机过程具有随机变量和时间函数的特点。随机过程ξ(t)在任一时刻都是随机变量；随机过程ξ(t)是大量样本函数的集合。3.2.1随机过程基本特征当随机变量x的取值个数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或无限区间。北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析61111111),(),(xtxFtxf3.2.2随机过程的统计描述1．随机变量的概率分布函数和概率密度函数设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T，其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。一维分布函数：随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率即：F1(x1,t1)=P｛ξ(t1）≤x1｝为随机过程ξ(t)的一维分布函数。一维概率密度函数随机过程的一维分布函数（或一维概率密度函数）仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析7任给两个时刻t1,t2∈T，则随机变量ξ(t1)和ξ(t2)构成一个二元随机变量{ξ(t1),ξ(t2)}，把两个事件(ξ(t1)≤x1)和(ξ(t2)≤x2)同时出现的概率定义为二维随机变量ξ(t)的二维分布函数。F2(x1,x2;t1,t2)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2｝2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf二维概率密度函数二维分布函数n维分布函数Fn(x1,…,xn;t1,…,tn)=P{ξ(t1)≤x1,…,ξ(tn)≤xn｝n维概率密度函数nnnnnnxxxtttxxFtttxxxf...)...,...;,()...,,;...,,(212,12122121北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析82.随机过程的数字特征随机过程的一维数字特征数学期望设P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量ξ(t)的取值xi的概率，则其数学期望为：)()()}({1taxPxtEKiii对于连续随机变量X，设f(x)为其概率密度函数，则其数学期望为：)()()}({tadxxxftE它本该在t1时刻求得，但t1是任意的，所以它是时间t的函数。反映了随机变量取值的集中位置（均值）北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析9方差：22)()()]([tatEtD随机过程的二维数字特征自协方差函数用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性)]}()()][()({[),(221121tattatEttB21212122211),;,()]()][([dxdxttxxftaxtaxdxxftat)()]()([2ξ自相关函数2121212212121),;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR反映了随机变量的集中程度北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析10二者关系为)]([)]([),(),(212121tEtEttRttBξξ如果B（t1，t2）和R（t1，t2）是衡量同一随机过程不同时刻的相关程度的，称为自协方差函数和自相关函数。如果是两个或多个随机过程，用互协方差函数和互相关函数描述不同随机过程在不同时刻的相关程度。)]}()()][()({[),(221121tattatEttB)]()([),(2121ttEttR引入时间间隔τ：τ12tt自相关函数定义：)]}()({[)(τξξτttER北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析11xaxaaxf其它021)(试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差。362)()]([)(,042)()(23222aaxdxaxdxxftaxxDaxdxaxdxxxfxEaaaaaaaa解：)()()}({tadxxxftE[例1]dxxftat)()]()([22自相关函数的性质：)]([)0()(2tERaξ)()()(ττRRb)0()()(RRcτ互相关函数的性质：)()()(ττξηηξRRa)0()0()()(ηξηξτRRRb)]0()0([21)()(ηξηξτRRRc0)(τηξR如果表示两个随机过程是不相关（正交的随机过程）北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析123.3平稳随机过程3.3.1定义对于任意的正整数n和任意实数t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的n维概率密度函数满足),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττnnnnnntttxxxftttxxxf则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）.一维分布函数)(),(),(11111xftxftxf二维分布函数),;,(),;,(1121221212τttxxfttxxf平稳随机过程的数学期望adxxxfdxtxxftEta)(),()}({)(112.3.2平稳随机过程的特点北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析13平稳随机过程的方差212122)(][),()]([)}({)(dxxfaxdxtxftaxtDt平稳随机过程的一维概率密度与时间无关；二维概率密度只与时间间隔τ有关；数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔τ有关。推论自相关函数)();,()]()([),(21212211111RdxdxxxfxxttEttR北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析143.3.3广义平稳随机过程定义：若随机过程ξ(t)的数学期望和方差与时间无关，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。各态历经性假设是一个平稳随机过程)(tξ该随机过程统计平均（数学期望）可用时间平均代替adttxTtEaTTT22)(1lim)]([北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析15该随机过程统计自相关函数可用时间自相关函数代替称该平稳随机过程具有各态历经性（遍历性）。)()()([1lim)]()([)(2221RdttxtxTttERTTT“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。该随机过程的统计方差可用时间方差代替222222])([1lim}])({[TTTdtatxTtE北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析16试证明随相信号是广义平稳随机过程。其中，是常数，相位是在上均匀分布的随机变量。)cos()(0tAt0,A2~0[例2])}sinsincos{cos)}cos({)(ttAEtAEta000)]})(cos[)cos({),(tAtAEttR00)}{sinsin}{coscostEAtEA002002002121dtAdtAsinsincoscos22)]()([)(tatEt20)]cos([tAE)(costEA0221222A0)}cos({cos2220002tEA)}{cos(cos222200202tEAA022cosA北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析173.4平稳随机过程的相关函数和功率谱密度3.4.1自相关函数的意义平稳随机过程的统计特性（如数字特征等）可通过自相关函数来描述；自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。3.4.2自相关函数主要性质R(0)为ξ(t)的平均功率])([)0(2tERR(τ)为偶函数)()(RR)0()(RR)]([)(2tER2)()0(RRR(0)为R(τ)的上界R(∞)为ξ(t)的直流功率R(0)-R(∞)为ξ(t)的交流功率(方差))]}()({[)(τξξτttER北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析183.4.3平稳随机过程的频谱特性确定信号f(t)的自相关函数与其功率谱密度之间有确定的傅立叶变换关系。平稳随机过程ξ(t)的自相关函数与其功率谱密度之间也互为傅立叶变换关系。)()(PRdePRdeRPjj)(21)()()(上式也称之为维纳-辛钦定理（具体推倒过程详见P17-18）。北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析19[例3]某随机过程自相关函数为R(τ)，求功率谱密度。其它,02,2)(sR解:deRPj)()(222dej2212jejjeejj2422)2(8Sa北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析20求随机相位正弦波的自相关函数与功率谱密度，常数，在（0，2π）均匀分布。)sin()(0tt0[例4](1)先考察ξ(t)是否广义平稳。解:)][sin()(0tEta]sincoscos[sin00ttE0)]()([),(2121ttEttR0cos21)]()([cos000)(2)(2)(00P（2）计算ξ(t)的功率谱密度21)(2cos121)][sin()]()([)(02022tEtEtatEt北京工商大学信息工程学院电子科学与技术系第3章随机信号分析213.5高斯过程3.3.1高斯分布概率密度函