通信原理-第2章数学基础（PPT 48页）

来自中国最大的资料库下载通信原理沈越泓、高媛媛、魏以民等编著机械工业出版社来自章数学基础主要内容及要求（以复习方式学习）：1、掌握随机过程及数学特征的定义；2、熟练掌握平稳随机过程定义、特点；3、掌握高斯过程的定义、性质；4、熟悉窄带随机过程的表达式及统计特性5、熟悉白噪声和带限白噪声的特点；6、掌握平稳随机过程通过线性系统后特点。来自．几种常见的概率密度函数（1）均匀分布x)(xF00ababx)(xf1ab1(a)(b)概率密度函数概率分布函数bxaabxf1)(概率密度函数为axbxaabaxxxF100)(概率分布函数为来自中国最大的资料库下载机械工业出版社通信原理（2）高斯分布（Gauss）分布高斯分布（也称为正态分布）的概率密度函数为]2)(exp[21)(22axxf其中为高斯随机变量的均值（数学期望），为高斯随机变量的方差。a2x)(xf0a21正态分布随机变量的概率密度函数x)(xf001xaax)(xf21(a)不变(b)不变图3.21x1xa1x1221a来自中国最大的资料库下载机械工业出版社)2(21)exp(2.21]2)(exp[21)(2222aberfcdzzdxaxbXPabb通信原理dyyxerfcx)exp(2)(2其中为误差补函数来自中国最大的资料库下载机械工业出版社通信原理（3）瑞利分布窄带高斯噪声的包络是服从瑞利分布的，瑞利分布随机变量的概率密度函数为002exp)(222xxxxfx)(xf0e1瑞利分布随机变量的概率密度函数来自中国最大的资料库下载机械工业出版社通信原理（4）莱斯分布正弦（或余弦）信号加上窄带高斯噪声的包络瞬时值服从莱斯分布。莱斯分布随机变量的概率密度函数为xxσAxIxAxxf000]2)(exp[)(202222式中为零阶贝塞尔函数，为正弦波的振幅。当时，莱斯分布退化为瑞利分布。)(0xIA0A来自中国最大的资料库下载机械工业出版社§2.3随机过程的基本概念主要内容：一、随机过程的定义二、随机过程的概率密度函数三、随机过程的数字特征通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社一、随机过程的定义)2cos()(ftAtX........)2cos()()2cos()()2cos()(332211ftAtXftAtXftAtX当相位为随机变量时：随机过程随机过程定义为全体样本函数的集合。通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社)2cos()(11tfAtX随机过程的一个重要特点：任一时刻的取值是一个随机变量。通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社二、随机过程概率密度函数通信原理设)(t表示一个随机过程，)(1t是任一时刻的取值它是一个随机变量，此随机变量的概率密度函数定义为随机过程的一维概率密度函数，记为。)(t);(111txf随机过程任意两个不同时刻、的取值、是两个不同的随机变量，这两个随机变量之间的联合概率密度函数相应地定义为随机过程的二维概率密度函数，二维概率密度函数记为。随机过程的维概率密度函数的定义与此类似，记为)(tX1t2t)(1tX)(2tX)(tX),;,(21212ttxxfn),..,;,...,(2121nnntttxxxf来自中国最大的资料库下载三、随机过程的数字特征1、均值（数学期望或统计平均）)();()(tadxtxxftE通信原理例有随机过程定义为其中是个离散随机变量，等概地取两个值和。求：（1）随机过程在及时刻的数学期望和；（2）随机过程的数学期望。)2cos(2)(YttXY0Y2Y5.0t0.1t)5.0(a)0.1(a)(ta来自、方差)()]([);()()()(2222ttadxtxfxtatEtD补充作业：同上题，设随机变量Y在0~2π区间均匀分布。来自、协方差函数（自协方差函数）21212122211221121).;,()]()][([)]}()()][()({[),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB4、相关函数（自相关函数）2121212212121).;,()]()([),(dxdxttxxfxxttEttR协方差函数与自相关函数有关。通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社一、定义1、狭义平稳通信原理§2.4平稳随机过程如果随机过程的统计特性与时间的起点无关，即随机过程与有相同的统计特性，是任意的时移，这样的随机过程称为狭义平稳随机过程。)(tX)(tX有用结论：（1）即平稳随机过程的数学期望不随时间变化，是一个常数。atatatXEtXE)()()]([)]([来自中国最大的资料库下载机械工业出版社通信原理（2）即平稳随机过程的方差与时间无关，也是一个常数。222)()()]([)]([tttXDtXD（3）即平稳随机过程任意两个时刻所对应的随机变量之间的相关函数只与时间间隔有关，与时间起点无关，只要时间间隔相同，它们之间的相关程度是相等的。例：当时，。),()]()([)]()([),(21212121ttRtXtXEtXtXEttR)()(21RttR4321tttt)]()([)]()([4321tXtXEtXtXE来自、广义平稳数学期望及方差与时间无关，自相关函数只与时间间隔有关。即：)(),()()(1122RttRtata结论：狭义平稳的随机过程一定是广义平稳的通信原理来自：考察随相信号的平稳性。其中：A、是常数，相位是在区间上均匀分布的随机变量。)cos()(0tAts0),(例2：设随机过程可表示成，式中：是一个离散随机变量且，。试求此随机过程的均值和自相关函数。)(t)2cos(2)(tt2/1)0(P2/1)2/(P通信原理来自][sin.2sin][cos.2Acos]sin.2sincos.2[cos)]2cos([)]([)(dtfAdtfEtfAEtftftfAEtfAEtXEtaccccccc)(2cos.2A)(2cos.2A)(2cos.2A21).222cos(.2A)](2cos)222[cos(2A)]2cos().2cos([)]()([),(221221221221212212121RfttfttfdtftfttftftfEtfAtfAEtXtXEttRcccccccccc来自中国最大的资料库下载机械工业出版社二、自相关函数的性质结论：用相关函数可求出平稳随机过程的主要数字特征。(2))()(RR偶函数222)]([)0(aStER随机过程的平均功率(1))0()(RR(3)22)]([)(atER直流功率(4)2)()0(RR交流功率(5)通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社三、平稳随机过程的频谱特性可以证明：平稳随机过程的功率谱密度函数与自相关函数是一对付氏变换。即：deRfPj)()(defPRj)(21)(通信原理来自：求随机过程的自相关函数和功率谱密度。其中：A、为常数，相位在均匀分布。)2cos()(0tfAts0),()2cos()()(tftAXtXcc)(tX例5有如下所示的随机过程其中是一个零均值的平稳随机过程，自相关函数为，功率谱密度函数为。、是常数，相位是在区间上均匀分布的随机变量。与相互统计独立。)(XR)(fPXAcf),()(tX（1）证明是广义平稳随机过程；（2）求的功率谱密度函数。)(tXc)(tXc来自中国最大的资料库下载机械工业出版社)]2cos()([)]([tftAXEtXEcc)]2[cos()].([tfEtAXEc0)]()([),(tXtXEttRccXC)]224cos(2[cos)].()([2)]22cos()().2cos()([2ccccccftffEtXtXEAftftAXtftAXE)(2cos)(22CXcXRfRA)]()([4)]}()([21)({2]2cos)([2)]([)(222cXcXccXcXXXffPffPAfffffPAfRFARFfPcc解：来自中国最大的资料库下载机械工业出版社§2.5高斯随机过程一、定义任意n维分布都服从正态分布的随机过程称为高斯过程。即：njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)])((21exp[..)2(1),..,;,..,(其中：1..............1...121221112nnnnbbbbbbB归一化协方差矩阵行列式通信原理来自]})(][)({[归一化协方差函数（相关系数）jkB为的代数余因子。B三个重要概念：1、若归一化协方差函数为0，则称两随机变量不相关2、若相关函数为0，则称两随机变量正交3、若联合概率密度函数等于各随机变量概率密度函数之积，称两随机变量是独立的。通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社二、高斯随机过程的重要性质1、n维分布由各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数决定。2、若高斯过程是广义平稳的，则也是狭义平稳的；3、若高斯随机过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的。（不相关，则独立）4、若干高斯过程之和仍为高斯过程；5、高斯过程通过线性系统之后仍为高斯过程。通信原理来自中国最大的资料库下载机械工业出版社§2.6通信系统中几种特殊的噪声1、窄带高斯噪声2、白噪声3、带限白噪声通信原理来自)(fPin0图3.9　窄带高斯噪声的功率谱和时间波形t)(tni（a)窄带高斯噪声的功率谱（b)窄带高斯噪声的时间波形来自中国最大的资料库下载一、窄带高斯噪声（窄带高斯随机过程）表达式：