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高三数学考试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：先求出集合，再根据补集的定义求得，然后根据并集的定义即可求出.详解：∵集合∴∵∴∵∴故选B.点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍.2.在四边形中，（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由向量的减法运算可得，即可得出.详解：∵∴故选D.点睛：本题考查了向量的减法运算，属于基础题.3.已知复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：先解出z==1+3i，再利用复数的代数形式的四则运算化简z，最后求模即可.详解：∵i（2﹣z）=3+i，∴z=2﹣=1+3i，∴|z|=．故选：C．点睛：本题考查复数的代数形式的四则运算及模运算，属于基础题.4.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如可用算筹表示为.纵式：横式：这个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则的运算结果可用算筹表示为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：先由对数的运算性质可得=729，结合算筹记数的方法分析可得结果．详解：根据题意，=36=729，用算筹记数表示为；故选：D．点睛：本题考查合情推理的应用，关键是理解题目中算筹记数的方法，属于基础题.5.设，满足约束条件，若的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据题设中的约束条件画出可行域，再将目标函数转化为直线方程，通过平移直线，即可求得的最大值.详解：根据题中的约束条件，画出可行域如图所示：联立，解得，即.将转化为，平移直线，由图象可知，直线经过时，直线截距最大，此时.故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.若干连续奇数的和A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：观察数列，可得该数列是等差数列，根据等差数列求和公式即可求解.详解：根据题意可得该数列是以3为首项，2为公差的等差数列，其中项数为.∴故选D.点睛：本题考查等差数列求和公式，解答本题的关键是正确求出首项及公差，注意本题在求项数时是易错点.7.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：根据三视图还原几何体可得是由半个圆柱与个球组成的组合体，再根据圆柱及球的体积公式即可求得该几何体的体积.详解：由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与个球组成的组合体，如图所示：其中，圆柱的底面半径是1，高是3，球的半径是1.∴该几何体的体积为故选B.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8.已知表示除以余，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（）A.求被除余且被除余的最小正整数B.求被除余且被除余的最小正整数C.求被除余且被除余的最小正奇数D.求被除余且被除余的最小正奇数【答案】D【解析】分析：由已知中的程序框图可知该程序框图的功能是求被7除余1且被5除余3的最小正奇数，由此得解．详解：因为n的初值为﹣1，且n=n+2，n≡1（mod7），n≡3（mod5），所以：该程序框图的功能是求被7除余1且被5除余3的最小正奇数．故选：D．点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.若，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据二倍角的正弦及余弦公式，结合，再根据同角三角函数关系即可求得.详解：∵∴，即∵∴∴∴故选A.点睛：本题主要考查有关同角三角函数关系及二倍角公式的应用，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.二倍角的余弦公式有三个：，注意结合题目情景选用不同的公式，本题选用的是，主要是为了和前面的“1”合并.10.已知圆：经过椭圆：的一个焦点，圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点，则到直线的距离的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：根据圆的方程求得圆与轴的交点坐标，再根据圆经过椭圆的一个焦点，即可求得，联立圆与椭圆的方程，即可求得线段所在的直线方程，从而可得到直线的距离的最大值.详解：∵圆：∴圆与轴的交点坐标为，∵圆经过椭圆：的一个焦点∴或∴或∵当时，圆与椭圆无交点∴联立，得.∵∴，即线段所在的直线方程为∵圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点∴到直线的距离的最大值为故选A.点睛：本题考查椭圆的方程和运用，考查圆的方程和椭圆方程联立求交点，以及直线和圆的位置关系，解答本题的关键是确定线段所在的直线方程，通过数形结合，确定点坐标为时，取得最大值...............................11.若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：分别求出函数与在上单调减区间，再根据两函数都在区间上单调递减，即可求得的最大值.详解：∵函数∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∵∴在上单调递减，在上单调递增.∴函数与都在上单调递减∴的最大值为故选B.点睛：本题考查的是三角函数的单调性，涉及到的知识点辅助角公式，以及正弦函数与余弦函数的单调区间的求法，在解题的过程中，要熟记各个知识点，解答本题的关键是正确求出函数与共同的单调减区间.12.已知函数，则函数的零点的个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：根据与时的解析式，分别判断出函数的单调性，即可得出函数零点及其范围，再结合函数的图象即可得出函数的零点的个数.详解：①当时，，则.∴当时，；当时，.∴在时取得极大值为3∵，，∴函数在，上各有1个零点②当时，，，的零点为2和3.由，得或或或，其中，.结合函数的图象可知，方程的解的个数为2，方程的解的个数为1，方程的解的个数为3，方程的解的个数为2.∴函数的零点的个数为8个故选C.点睛：判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程，方程有几个解，函数就有几个零点；(2)图象法：画出函数的图象，则图象与轴的交点个数即为函数的零点个数；(3)将函数拆成两个常见函数和的差，从而⇔⇔，则函数的零点个数即为函数与函数的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，可通过相应的二次方程的判别式来判断．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若双曲线的焦距为，则__________．【答案】6【解析】分析：将双曲线方程化为标准方程，再根据双曲线的焦距为，即可求得.详解：∵双曲线∴双曲线的标准方程为∵双曲线的焦距为∴∴故答案为6.点睛：本题考查双曲线方程及的简单性质的应用，熟记双曲线的几何性质是解题的关键.14.现有大小形状完全相同的个小球，其中红球有个，白球与蓝球各个，将这个小球任意排成一排，则中间个小球不都是红球的概率为__________．【答案】【解析】分析：利用列举法求出4个小球排成一排的所有情况为12种，其中中间2个小球都是2个小球都是红球的有2种，由此能求出中间2个小球不都是红球的概率．详解：4个小球排成一排的所有情况为：红红白蓝，红红篮白，红白红蓝，红白蓝红，红蓝红白，红蓝白红，白蓝红红，白红蓝红，白红红蓝，蓝白红红，蓝红白红，蓝红红白，共有12种，其中中间2个小球都是红球的有2种.∴中间个小球不都是红球的概率为故答案为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.15.已知数列是等比数列，且，，则__________．【答案】121【解析】分析：设等比数列的公比为，根据，，求出公比，从而可求出.详解：设等比数列的公比为，则.∵，∴∴∴故答案为.点睛：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识.对于等比数列的基本运算，解题的关键在于解方程或方程组，注意等比数列的性质的合理运用.16.在正方体中，为棱上一点，且，，以为球心，线段的长为半径的球与棱，分别交于，两点，则的面积为__________．【答案】4【解析】分析：作出图形，根据，，利用勾股定理分别求得，，，从而可求得和，再利用割补法即可求得的面积.详解：根据题意，作出图形如图所示：∵∴，则∴∴故答案为4.点睛：本题考查几何体的外接球与几何体的关系，考查三角形面积的求法.解答本题的关键是球与正方体的性质的合理运用，结合勾股定理求出需求的边长，再结合割补法求得三角形的面积，着重考查转化思想与计算能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，，.（1）若，求的长及边上的高；（2）若为锐角三角形，求的周长的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）根据，得出，结合余弦定理即可求出的长，再根据等面积法即可求得边上的高；（2）设，根据推出角必为锐角，结合为锐角三角形可得，，根据余弦定理即可求得的取值范围，从而可得的周长的取值范围.详解：（1）∵∴∴.∵∴.由等面积法可得，则.（2）设.∵∴角必为锐角.∵为锐角三角形∴角，均为锐角，则，，于是，解得.故的周长的取值范围为.点睛：本题考查余弦定理及三角形面积的应用.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；第三步：求结果.18.如图，在四棱锥中，，，，点在线段上，且，，平面.（1）证明：平面平面；（2）当时，求四棱锥的表面积.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）根据，及，推出四边形是平行四边形，再根据推出，由平面，可推出，根据线面垂直判定定理即可推出平面，从而可证平面平面；（2）根据平面，可推出，由，可得，根据勾股定理可得，然后分别求得四棱锥的各面面积相加即可求得表面积.详解：（1）证明：由，可得，则，又，则四边形是平行四边形，则.∵∴.又∵平面，平面∴∵，平面∴平面又平面∴平面平面.（2）解：∵平面∴∵∴.∵∴.∴四棱锥的表面积为.点睛：本题主要考查面面垂直的证明方法，考查椎体的表面积求法，属基础题.熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的垂直关系进行转化，证