几种不同增长的函数模型

函数的应用第三章3.2函数模型及其应用第三章3.2.1几类不同增长的函数模型优效预习1．对数函数y＝logax，(a＞0，a≠1)当a＞1时，增区间为_____________，当0＜a＜1时减区间为_____________．2．函数y＝ax(a＞0，a≠1)，当a＞1时增区间为_____________，当0＜a＜1时减区间为_____________．3．函数y＝logax与y＝ax(a＞0，a≠1)的图象关于_____________对称．4．y＝xα(α∈R)，当α＞0时函数在(0，＋∞)上为_____函数，当α＜0时，函数在(0，＋∞)上为______函数．●知识衔接(0，＋∞)(0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)y＝x增减5.某地的水电资源丰富，并且得到了电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系如右图所示：则月用电量为100度时，应交电费___元．601．四种函数模型的性质●自主预习函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)y＝kx＋b(k＞0)在(0，＋∞)上的增减性____函数____函数____函数____函数增长的速度越来越____越来越____相对较快不变图象的变化越来越陡越来越平随n值而不同直线上升增增增增快慢2.三种增长函数模型的比较(1)指数函数和幂函数．一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax____xn.快＞(2)对数函数和幂函数．对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长____于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax____xn.慢＜(3)指数函数、对数函数和幂函数．在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是___函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越___，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有______＜xn＜____.增快logaxax1．专家预测，在我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()[答案]D[解析]由题意可知y＝(1＋10.4%)x.●预习自测[答案]C[解析](排除法)当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D，当x＝3时，否定A项；故选C.2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2xB．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x3．下列函数增长的速度最快的是()A．y＝3xB．y＝log3xC．y＝x3D．y＝3x[答案]A4．当x＞4时，a＝4x，b＝log4x，c＝x4，则有()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a[答案]D高效课堂四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：关于x呈指数函数变化的变量是________．考查函数模型的增长差异●互动探究x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907探究1.从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．[解析]以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速率不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]y2[规律总结]解决本题的关键是如何确定变量间的关系是指数函数关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值，还要看函数值的变化趋势．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：x2xx22x＋7log2x12190244111389131.5854161615253225172.32266436192.585712849212.807825664233951281253.170101024100273.322试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长速度快慢有什么不同？[解析](1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小．[规律总结]对于三种函数增长的几点说明：(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如下图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2015)，g(2015)的大小．图象信息迁移题探究1.随着自变量x的增大，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.[解析](1)C1对应的函数g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，∴1x12,9x210，∴x16x2,2015x2.从图象上可以看出，当x1xx2时，f(x)g(x)，∴f(6)g(6)．当xx2时，f(x)g(x)，∴f(2015)g(2015)．又g(2015)g(6)，∴f(2015)g(2015)g(6)f(6)．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如右图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解析](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当xx1时，g(x)f(x)；当x1xx2时，f(x)g(x)；当xx2时，g(x)f(x)．某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？函数模型的选择●探索延拓探究1.本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．[解析]由题意，知将产量随时间变化的离散量分别抽象为A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，得3a＋b＝1.3，2a＋b＝1.2.解得a＝0.1，b＝1.所以有关系式y＝0.1x＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得a＋b＋c＝1，4a＋2b＋c＝1.2，9a＋3b＋c＝1.3.解得a＝－0.05，b＝0.35，c＝0.7.所以有关系式y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x＝3.5)，不合实际．设模拟函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得ab＋c＝1，①ab2＋c＝1.2，②ab3＋c＝1.3.③由①，得ab＝1－c，代入②③，得b1－c＋c＝1.2，b21－c＋c＝1.3.则c＝1.2－b1－b，c＝1.3－b21－b2.解得b＝0.5，c＝1.4.则a＝1－cb＝－0.8.所以有关系式y＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y＝－0.8×0.5x＋1.4模拟比较接近客观实际．[规律总结]本题是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．某私立学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[分析]作出函数图象→观察图象得到结论[解析]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．[规律总结]不同的函数增长模型能刻画现实世界中不同的变化规律：(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的科学的信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．当堂检测1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝2xB．y＝10000xC．y＝log3xD．y＝x3[答案]A2．如图所示曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势()A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指