1*第六节函数的幂级数展开nnnxaxf0)(求幂级数,在其收敛域内以f(x)为和函数——函数的幂级数展开.问题:2.如果能展开,是什么?na3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?nnnxxaxf)()(00或麦克劳林展开式泰勒展开式2一、泰勒级数设函数)(xf能在0x的一个邻域内展开成幂级数,即),(,)()(0000xxxxxaxfnnn由幂级数性质知,)(xf在),(00xx内是任意阶可导的,这是)(xf能展开成幂级数的必要条件.上式两端逐项求导,得203021)(3)(2)(xxaxxaaxf)(!3!2)(032xxaaxf)(!)1(!)(01)(xxananxfnnn3)(!)1(!)(01)(xxananxfnnn即得令,0xx),2,1,0()(!10)(kxfkakk定理如果函数)(xf在)(0xU内具有任意阶导数,且在)(0xU内能展开成)(0xx的幂级数,即nnnxxaxf)()(00,则其系数),2,1,0()(!10)(nxfnann且展开式是唯一的.),(00xxx4),2,1,0()(!10)(kxfkakk),(,)()(0000xxxxxaxfnnn定义称000)()(!)(nnnxxnxf为)(xf在0xx处的泰勒级数.特别地,若00x,则称0)(!)0(nnnxnf为)(xf的麦克劳林级数.5若)(xf在),(ba内具有直至1n阶导数,),(0bax,则当),(bax时,)(xf可表示成200000)(2)())(()()(xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn,其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR,在x与0x之间.二、泰勒公式上述公式称为)(xf按0xx的幂展开的n阶泰勒公式,)(xRn称为拉格朗日余项.6其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR,在x与0x之间.特别地,取00x,得到公式)(!)0(2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn,其中1)1(!)1()()(nnnxnfxR,在x与0之间,)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnnkkk上述公式称为n阶麦克劳林(Maclaurin)公式.证略.7三、函数的泰勒展开定理设函数)(xf在点0x的某一邻域内具有各阶导数,则)(xf在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(xf的泰勒公式中的余项)(xRn当n时趋向于零,此时有nnnxxnxfxf)(!)()(000)(.证由泰勒公式其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR,在x与0x之间.)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnnkkk证明是显然的.81.求出0x处的函数值及各阶导数值)0(f,)0(f,)0(f,),0(,)(nf;0)(!)0(nnnxnf函数f(x)展开成幂级数的具体步骤:2.写出幂级数,并求其收敛域D.0)(!)0(nnnxnf3.考察0)(limxRnn在D上是否成立。0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx如果是,则f(x)在D上可展开成麦克劳林级数9将xxfe)(展开成x的幂级数.xnxfe)()(,),2,1(n,所以1)0()(nf,即xe在0x处的泰勒级数为0!nnnx,它的收敛半径R.在0与x之间,考察余项1!)1(e)(nnxnxR,对任意固定的x,级数01!)1(||nnnx收敛,例1解|!)1(e||)(|1nnxnxR!)1(||e1||nxnx10(02||limlim1nxuunnnn)故通项)(0!)1(||1nnxn,而||ex有限,故0)(limxRnn,!!21!e20nxxxnxnnnx,),(x对任意固定的x,级数01!)1(||nnnx收敛,|!)1(e||)(|1nnxnxR!)1(||e1||nxnx即证得11!!21!e20nxxxnxnnnx12将xxfsin)(展开成x的幂级数.)2sin()()(nxxfn),2,1(n,kn2,0)0()(nf;即xsin在0x处的泰勒级数为012!)12()1(nnnnx,12kn,knf)1()0()(.它的收敛半径R.考察余项1!)1(]2)1(sin[)(nnxnnxR,在0与x之间,例2解13于是得xsin的展开式为!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn,因此,考察余项1!)1(]2)1(sin[)(nnxnnxR,在0与x之间,),(x!)1(||1nxn|!)1(]2)1(sin[||)(|1nnxnnxR)(0n14)1()(xxf的麦克劳林级数为例3收敛域为:0:]1,1[01:]1,1(1:)1,1(2!2)1(1)1(xxxnxnn!)1()1((n不为正整数)特别,,110nnxx)1,1(x牛顿二项展开式15一般用间接法:根据展开式的唯一性,利用已知展开式,通过变量代换、四则运算、恒等变形、逐项求导、逐项积分等方法,求展开式.例4将2e)(xxf展开成x的幂级数.,!e0nnxnx),(x所以02!)(e2nnxnx,!)1(02nnnxn),(x16),(x53012!51!31!)12()1(sinxxxnxxnnn将xxfcos)(展开成x的幂级数.两边求导,得,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn例5),(x17将)1ln()(xxf展开成x的幂级数.因为xxf11)(两边从0到x积分,得上式对1x也成立,故收敛域为]1,1(x,例6解,0)(nnx1||x,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x011)1()1ln(nnnnxx11)1(nnnnx18将xxfarctan)(展开成x的幂级数.因为211)(xxf两边从0到x积分,得上述幂级数在1x处也收敛,且xarctan在1x处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为例7解5312)1(arctan53012xxxnxxnnn]1,1[x1||x,)(02nnx19基本展开式,!5!3!)12()1(sin53012xxxnxxnnn,!!21!e20nxxxnxnnnx),(x),(x,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x202!2)1(1)1(xxxnxnn!)1()1((n不为正整数)特别,110nnxx)1,1(x)1,1(x5312)1(arctan53012xxxnxxnnn]1,1[x21将2ee)(xxxf展开成x的幂级数.),(x),(x),(x例8解,!!21e2nxxxnx,!)1(!21e2nxxxnnx2ee)(xxxf所以!)2(!4!21242nxxxn,!)2(02nnnx22将xxf2cos)(展开成x的幂级数.例9解法1)2cos1(21cos2xx,!4!21!)2()1(cos4202xxnxxnnn),(x02!)2()2()1(2121nnnnx,!)2(2)1(11212nnnnxn),(x23012!)12()2()1(nnnnx,两边从0到x积分,得0222!)22()2()1(211cosnnnnxxxx2sin)(cos2所以解法2),(x12!)2()2()1(21nnnnx,!)2(2)1(1212nnnnxn,!)2(2)1(1cos12122nnnnxnx),(x将xxf2cos)(展开成x的幂级数.例924将341)(2xxxf展开成x的幂级数.例10解341)(2xxxf1||x)3)(1(1xx]3111[21xx3/1161)1(21xx00)3()1(61)1(21nnnnnnxx,]36121[)1(0nnnnx25将)34ln()(2xxxf展开成x的幂级数.例11解)34ln()(2xxxf)1)(4ln(xx)1ln()4ln(xx)1ln()41ln(4lnxx,32)1()1ln(3211xxxnxxnnn]1,1(x1111)1()4(1)1(4lnnnnnnnxnxn,4)4(14ln1nnnnxn]1,1(x26已知xxxfe)(6,求).0(),0()100()99(ff例12解)(xf的幂级数展开式为)!94!93!3!21()(9493326xxxxxxxf!94!93!3!2100999876xxxxxx由幂级数展开式的唯一性,,!931!99)0()99(f,!941!100)0()100(f因此,,!93!99)0()99(f.!94!100)0()100(fnnnxnfxf0)(!)0()(27以上讨论的均为麦克劳林级数,下面讨论一下一般的泰勒级数:000)()(!)(nnnxxnxf其收敛域为D,并要求余项0)(limxRnx在D上成立,nnxxnxfxf)(!)()(00)()(Dx则)(xf在0xx处的泰勒展开式为一般利用麦克劳林级数间接展开.28将xxf41)(展开成)1(x的幂级数.收敛域:5|1|x,即)6,4(x.例13解x41511151x151x0)51(51nnx,)1(5)1(01nnnnx29例14解11x,2111231)(2xxxxxf,03431nnx;1|34|x展开函数2312xx为(4x)的幂级数.而341131x,02421241121)4(2121nnxxxx)4(31x30,011)4](3121[)(nnnnxxf)2,6(x11x,03431nnx;1|34|x,02421241121)4(2121nnxxxx;1|24|x例