1《创新设计》2019版高三一轮总复习实用课件数学2目录目录CONTENTS@《创新设计》第6节正弦定理和余弦定理01020304考点三考点一考点二例1训练1利用正、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理判定三角形的形状和三角形面积有关的问题诊断自测例2训练2例3训练33目录@《创新设计》1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中,若sinAsinB,则AB.()(3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2+c2-a20时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a20时,△ABC为钝角三角形.()诊断自测解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时,不可求三边.(4)当b2+c2-a20时,三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×4目录@《创新设计》[例1](1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=()A.π12B.π6C.π4D.π3考点一利用正、余弦定理解三角形解析(1)由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,则sinC(sinA+cosA)=2sinCsinA+π4=0,因为sinC≠0,所以sinA+π4=0,又因为A∈(0,π),所以A+π4=π,所以A=3π4.由正弦定理asinA=csinC,得2sin3π4=2sinC,则sinC=12,得C=π6.5目录@《创新设计》[例1](2)在△ABC中,已知a=2,b=6,A=45°,则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定考点一利用正、余弦定理解三角形解析(2)∵bsinA=6×22=3,∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个.xy45°2236B1B2CA(3)(2018·梅州质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=3bc,且sinC=23sinB,则角A的大小为________.(3)由sinC=23sinB,根据正弦定理得,c=23b,代入a2-b2=3bc得,a2-b2=6b2,即a2=7b2,由余弦定理得:cosA=b2+c2-a22bc=b2+12b2-7b243b2=32,∴A=π6.答案(1)B(2)B(3)π66目录@《创新设计》考点一利用正、余弦定理解三角形1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断.(2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.7目录@《创新设计》[训练1](2017·河北名校联盟质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=2,角B的平分线BD=3,求a.考点一利用正、余弦定理解三角形解析(1)2acosC-c=2b,由正弦定理得2sinAcosC-sinC=2sinB,2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC,∴-sinC=2cosAsinC,sinC≠0,∴cosA=-12,又A∈(0,π),∴A=2π3.(2)在△ABD中,由正弦定理得,ABsin∠ADB=BDsinA,∴sin∠ADB=ABsinABD=22.又∠ADB∈(0,π),A=2π3,2π332CDBA∠ADB一定为锐角8目录@《创新设计》[训练1](2017·河北名校联盟质检)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=2,角B的平分线BD=3,求a.考点一利用正、余弦定理解三角形∴∠ADB=π6,∠ACB=π6,AC=AB=2,由余弦定理,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=(2)2+(2)2-2×2×2cos2π3=6,∴a=6.2π332CDBA∴∠ABC=π6,9目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2](1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcosA,则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析(1)由cbcosA,得sinCsinBcosA,所以sinCsinBcosA,即sin(A+B)sinBcosA,所以sinAcosB0,一般将边转化为角,得出角之间的关系与特点,从而判断三角形的形状。或者将角转化为边,得出三边之间的关系,也能判断出三角形的形状。本题也可由余弦定理推出c2+a2<b2而得出三角形是钝角三角形因为在三角形中sinA0,所以cosB0,即B为钝角,所以△ABC为钝角三角形.10目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2](2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,∴sin(B+C)=sin2A,即sin(π-A)=sin2A,sinA=sin2A.∵A∈(0,π),∴sinA0,由正弦定理向角转化,由角的特点判断三角形形状∴sinA=1,即A=π2.答案(1)A(2)B∴sinA=1,即A=π2.∴△ABC为直角三角形11目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范围对三角函数值的限制.12目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[训练2]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析∵c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B),∴由正弦定理得sinC-sinAcosB答案D=2sinAcosA-sinBcosA,∴sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,∴cosA(sinB-sinA)=0,∴cosA=0或sinB=sinA,∴A=π2或B=A或B=π-A(舍去),∴△ABC为等腰或直角三角形.13目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题[例3](2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解析(1)由sinA+3cosA=0及cosA≠0,得tanA=-3,又0Aπ,所以A=2π3.由余弦定理,得28=4+c2-4c·cos2π3.即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.cosA=0则sinA=∓1和已知sinA+𝟑COSA=0矛盾14目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题[例3](2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+3cosA=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.(2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD与△ACD面积的比值为12AB·ADsinπ612AC·AD=1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC=23,所以△ABD的面积为3.ABC2427D15目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.16目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题[训练3](2017·山东卷)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB→·AC→=-6,S△ABC=3,求A和a.解因为AB→·AC→=-6,所以bccosA=-6,又因为S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0Aπ,所以A=3π4.又因为b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-22=29,所以a=29.17本节内容结束