第6节 正弦定理和余弦定理

1《创新设计》2019版高三一轮总复习实用课件数学2目录目录CONTENTS@《创新设计》第6节正弦定理和余弦定理01020304考点三考点一考点二例1训练1利用正、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理判定三角形的形状和三角形面积有关的问题诊断自测例2训练2例3训练33目录@《创新设计》1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()(2)在△ABC中，若sinAsinB，则AB.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．()(4)当b2＋c2－a20时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a20时，△ABC为钝角三角形．()诊断自测解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比．(3)已知三角时，不可求三边．(4)当b2＋c2－a20时，三角形ABC不一定为锐角三角形．答案(1)×(2)√(3)×(4)×4目录@《创新设计》[例1](1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3考点一利用正、余弦定理解三角形解析(1)由题意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，则sinC(sinA＋cosA)＝2sinCsinA＋π4＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋π4＝0，又因为A∈(0，π)，所以A＋π4＝π，所以A＝3π4.由正弦定理asinA＝csinC，得2sin3π4＝2sinC，则sinC＝12，得C＝π6.5目录@《创新设计》[例1](2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有()A．1个B．2个C．0个D．无法确定考点一利用正、余弦定理解三角形解析(2)∵bsinA＝6×22＝3，∴bsinAab.∴满足条件的三角形有2个．xy45°2236B1B2CA(3)(2018·梅州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，且sinC＝23sinB，则角A的大小为________．(3)由sinC＝23sinB，根据正弦定理得，c＝23b，代入a2－b2＝3bc得，a2－b2＝6b2，即a2＝7b2，由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝b2＋12b2－7b243b2＝32，∴A＝π6.答案(1)B(2)B(3)π66目录@《创新设计》考点一利用正、余弦定理解三角形1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断．(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．2．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．7目录@《创新设计》[训练1](2017·河北名校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.考点一利用正、余弦定理解三角形解析(1)2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB，2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2cosAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，sinC≠0，∴cosA＝－12，又A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝BDsinA，∴sin∠ADB＝ABsinABD＝22.又∠ADB∈(0，π)，A＝2π3，2π332CDBA∠ADB一定为锐角8目录@《创新设计》[训练1](2017·河北名校联盟质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.考点一利用正、余弦定理解三角形∴∠ADB＝π6，∠ACB＝π6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos2π3＝6，∴a＝6.2π332CDBA∴∠ABC＝π6，9目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2](1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbcosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析(1)由cbcosA，得sinCsinBcosA，所以sinCsinBcosA，即sin(A＋B)sinBcosA，所以sinAcosB0，一般将边转化为角，得出角之间的关系与特点，从而判断三角形的形状。或者将角转化为边，得出三边之间的关系，也能判断出三角形的形状。本题也可由余弦定理推出c2+a2＜b2而得出三角形是钝角三角形因为在三角形中sinA0，所以cosB0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．10目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2](2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sinA0，由正弦定理向角转化，由角的特点判断三角形形状∴sinA＝1，即A＝π2.答案(1)A(2)B∴sinA＝1，即A＝π2.∴△ABC为直角三角形11目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制．12目录@《创新设计》考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[训练2]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析∵c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sinC－sinAcosB答案D＝2sinAcosA－sinBcosA，∴sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，∴cosA(sinB－sinA)＝0，∴cosA＝0或sinB＝sinA，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形．13目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题[例3](2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解析(1)由sinA＋3cosA＝0及cosA≠0，得tanA＝－3，又0Aπ，所以A＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c2－4c·cos2π3.即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.cosA=0则sinA=∓1和已知sinA+𝟑COSA=0矛盾14目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题[例3](2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD与△ACD面积的比值为12AB·ADsinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.ABC2427D15目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．16目录@《创新设计》考点三和三角形面积有关的问题[训练3](2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，AB→·AC→＝－6，S△ABC＝3，求A和a.解因为AB→·AC→＝－6，所以bccosA＝－6，又因为S△ABC＝3，所以bcsinA＝6，因此tanA＝－1，又0Aπ，所以A＝3π4.又因为b＝3，所以c＝22.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a2＝9＋8－2×3×22×－22＝29，所以a＝29.17本节内容结束