第6节 正弦定理和余弦定理及其应用(41)

第6节正弦定理和余弦定理及其应用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考纲展示知识梳理自测考点专项突破解题规范夯实知识梳理自测把散落的知识连起来【教材导读】1.已知△ABC中的三边,如何判断三角形是锐角、钝角、直角三角形?提示:利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负,从而判断出三角形是锐角、钝角、直角三角形.2.在三角形ABC中,“AB”是“sinAsinB”的什么条件?“AB”是“cosAcosB”的什么条件?提示:在三角形ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件,“AB”是“cosAcosB”的充要条件.3.在三角形ABC中,“a2+b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件?“a2+b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件?提示:“a2+b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件,“a2+b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.知识梳理1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容sinaA=sinbB=sincC=2R(其中R是△ABC外接圆半径)a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC变形形式a=2RsinA,b=,c=;sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;a∶b∶c=sinA∶∶sinC;asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=;cosB=;cosC=解决的问题已知两角和任一边,求另一角和其他两条边;已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角(1)已知三边,求各角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(3)已知两边和其中一边的对角,求其他角和边2RsinB2RsinCsinB2222bcabc2222cabac2222abcab2.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示边a上的高);(2)S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).3.解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(2)有关测量中的几个术语①仰角和俯角:与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫,目标视线在水平视线下方时叫.(如图(1)所示)②方位角:一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向.③坡角:坡面与水平面的夹角.hl仰角俯角④坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i==tanα(i为坡比,α为坡角).(如图(2)所示)【重要结论】在△ABC中,常有以下结论:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(3)sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC;sin2AB=cos2C;cos2AB=sin2C.(4)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.(5)∠A∠B⇔ab⇔sinAsinB⇔cosAcosB.双基自测1.(2017·广西桂林模拟)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,A=45°,B=105°,则边c等于()(A)32(B)1(C)3(D)622解析:由正弦定理得2sin45=sin30c,所以c=1.故选B.B(A)14(B)34(C)24(D)23B解析:根据正弦定理和sinA,sinB,sinC成等比数列可得sin2B=sinAsinC得b2=ac=2a2,即b=2a.根据余弦定理cosB=2222acbac=2222424aaaa=34.故选B.2.(2018·石家庄质检)在△ABC中,角A,B,C所对的对边长分别为a,b,c,sinA,sinB,sinC成等比数列,且c=2a,则cosB的值为()3.在钝角△ABC中,AB=3,AC=1,B=30°,则△ABC的面积为()(A)14(B)32(C)34(D)12解析:由sinABC=sinACB得sinC=32,C=120°或C=60°(舍去),则A=30°,S△ABC=12AB·ACsinA=34.故选C.C解析:a2+b2+c2=a2+b2+a2+b2-2abcosC=23absinC,即a2+b2=2absin（C+π6）,由于2ab≤a2+b2=2absin（C+π6）≥2ab,故只能a=b且C+π6=π2,故三角形为正三角形.故选D.4.(2017·辽宁五校联考)在△ABC中,a2+b2+c2=2absinC,则△ABC的形状是()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)正三角形3D5.导学号94626155下列说法正确的是.①三角形中三边之比等于相应的三个内角之比;②在△ABC中,若sinAsinB,则AB;③在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素;④面积公式中S=12bcsinA=12absinC=12acsinB,其实质就是面积公式S=12ah=12bh=12ch(h为相应边上的高)的变形;⑤在△ABC中,若b2+c2a2,则此三角形是锐角三角形.解析:①错误.若三内角A,B,C分别为π6,π3,π2,比为1∶2∶3,而对应边的比为1∶3∶2.②正确.由正弦定理知sinA=2aR,sinB=2bR,由sinAsinB得ab,即AB.③错误.当已知三个角时不能求三边.④正确.如S=12absinC=12ah(h=bsinC),h即为边a上的高.⑤错误.满足b2+c2a2,还可能满足b2≥a2+c2或c2≥a2+b2,则三角形不是锐角三角形.答案:②④考点专项突破在讲练中理解知识考点一正、余弦定理的应用★★★★【例1】(1)在△ABC中,a,b,c依次是角A,B,C的对边,且bc.若a=2,c=23,A=π6,则C=;解析:(1)根据正弦定理212=23sinC,解得sinC=32,由于ac,bc,故c是△ABC的最大边,其对角为最大角,故C=2π3.考查角度1:利用正、余弦定理解三角形答案:(1)2π3解析:(2)由3sinA=2sinB,得3a=2b,所以b=32a=32×2=3,在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×（-14）=16,解得c=4.(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则c=.14答案:(2)4反思归纳利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数.【例2】(1)导学号94626156(2017·黑龙江大庆模拟)在△ABC中,若AB·AC=7,|AB-AC|=6,则△ABC面积的最大值为()解析:(1)设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则已知条件即bccosA=7,a=6.根据余弦定理可得36=b2+c2-14,所以b2+c2=50,可得bc≤25.S△ABC=12bcsinA=12bc21cosA=12bc2491bc=21492bc≤2125492=12572572=12.故选C.考查角度2:与三角形面积有关的问题(A)24(B)16(C)12(D)8解析:(2)根据余弦定理得cosC=2222abcab=12,所以C=π3,由三角形面积公式得12absinπ3=32c,得c=12ab,代入a2+b2-c2-ab=0,得a2+b2-14a2b2-ab=0,因为a2+b2≥2ab,所以2ab-14a2b2-ab≤0,整理即得ab≥4,故ab的最小值为4.故选D.(2)(2017·潮州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2+b2-c2-ab=0.若△ABC的面积为c,则ab的最小值为()(A)24(B)12(C)6(D)432反思归纳(1)对于面积公式S=12absinC=12acsinB=12bcsinA,一般是已知哪一个角就选用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化,得到两边乘积,再整体代入.考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状【例3】导学号94626157在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a·sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;解:(1)因为2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,所以2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cosA=2222bcabc=12,所以A=60°.解:(2)因为A+B+C=180°,所以B+C=180°-60°=120°,由sinB+sinC=3,得sinB+sin(120°-B)=3,所以sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=3.所以32sinB+32cosB=3,即sin(B+30°)=1.又因为0°B120°,所以30°B+30°150°,所以B+30°=90°,即B=60°.所以A=B=C=60°,所以△ABC为正三角形.(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.3反思归纳判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出三条边之间的关系进行判断.跟踪训练1:(1)导学号49612120在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的形状为()(A)直角三角形(B)锐角三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:(1)由正弦定理,得sinB=2sinCcosA,sinC=2sinBcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,所以sin(A-C)=0,A=C,同理可得A=B,所以三角形为等边三角形.故选C.(2)在△ABC中,cos22B=2acc(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为()(A)等边三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形解析:(2)因为cos22B=2acc,所以2cos22B-1=acc-1,所以cosB=ac,所以2222acbac=ac,所以c2=a2+b2.所以△ABC为直角三角形.故选B.考点三利用正、余弦定理解决实际问题【例4】导学号94626158(1)(2016·广州七区联考)某观察站C与两灯塔A,B的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北偏东30°处,灯塔B在观察站C南偏东30°处,则两灯塔A,B间的距离为.解析:(1)由题意可知,如图,在△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,AB=700(米).答案:(1)700米(2)(2017·黑龙江双鸭山期末)如图,跳伞塔CD高4,在塔顶测得地面上两点A,B的俯角分别是30°,45,又测得∠ADB=30°,则AB两地的距离为.解析:(2)因为∠BCD=90°-45°=45°,所以在Rt△BCD中,BD=4×tan45°=4,又因为∠ACD=90°-30°=60°,所以在Rt△ACD中,AD=4×tan60°=43,在△ABD中,AB2=BD2+AD2-2AD·BD·cos∠ADB=42+(43)2-2×4×