第6节 正弦定理和余弦定理及其应用

第6节正弦定理和余弦定理及其应用基础梳理考点突破知识整合1.正、余弦定理见附表质疑探究1:在三角形ABC中,“AB”是“sinAsinB”的什么条件?“AB”是“cosAcosB”的什么条件?提示:在三角形ABC中,“AB”是“sinAsinB”的充要条件,“AB”是“cosAcosB”的充要条件.基础梳理抓主干固双基质疑探究2:在三角形中,“a2+b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的什么条件?“a2+b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的什么条件?提示:“a2+b2c2”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件,“a2+b2c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.2.三角形常用面积公式(1)S=12a·ha(ha表示边a上的高);(2)S=12absinC=1sin2bcA=12acsinB;(3)S=12r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).3.解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.(2)有关测量中的几个术语①仰角和俯角:与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图(1)所示)②方位角:一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角,如方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向.③坡角:坡面与水平面的夹角.(如图(2)所示)④坡比:坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i=hl=tanα(i为坡比,α为坡角).双基自测1.(2013年高考湖南卷)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=3b,则角A等于(D)(A)π12(B)π6(C)π4(D)π3解析:根据正弦定理,2sinAsinB=3sinB,因为sinB≠0,所以sinA=32,又△ABC为锐角三角形,所以A=π3.故选D.2.(2013年高考陕西卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不确定解析:由bcosC+ccosB=asinA,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,在△ABC中,B+C=180°-A,得sinA=1,则A=π2.因此△ABC为直角三角形.故选B.3.(2014广东肇庆高三一模)在△ABC中,AC=7,BC=2,∠B=60°,则△ABC的面积等于.解析:设角A、B、C的对边分别为a、b、c,由余弦定理,cosB=2222acbac=12,即2474cc=12,∴c2-2c-3=0,∴c=3或c=-1(舍去).∴S△ABC=12acsinB=332.答案:3324.如图所示,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距82nmile.此船的航速是nmile/h.解析:设航行速度为vnmile/h.在△ABS中,AB=12v,BS=82,∠BSA=45°,由正弦定理得,82sin30=12sin45v,∴v=32.答案:32考点突破剖典例知规律考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.思维导引:(1)在Rt△BPC中求出∠PBC,从而求出∠PBA.然后在△PBA中利用余弦定理求解即可.(2)设∠PBA=α,表示出∠PAB,∠PCB,△PBC中表示出PB,然后在△PAB中由正弦定理求解即可.解:(1)由已知得∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2×3×12cos30°=74,故PA=72.(2)设∠PBA=α,则∠PAB=30°-α,∠BCP=α,于是Rt△PBC中,PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得3sin150=sinsin30,化简得3cosα=4sinα.所以tanα=34,即tan∠PBA=34.反思归纳利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理,有时需结合图形分析求解,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角定理等确定解的个数.即时突破1(1)(2013广东江门一模)在△ABC中,若A=5π12,B=π4,AB=62,则AC等于()(A)3(B)23(C)33(D)43(2)(2013年高考天津卷)在△ABC中,∠ABC=π4,AB=2,BC=3,则sin∠BAC等于()(A)1010(B)105(C)31010(D)55解析:(1)C=π-A-B=π-5π12-π4=π3.由正弦定理sinABC=sinACB,∴62πsin3=πsin4AC.∴AC=43.故选D.(2)在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=2+9-62×22=5,即AC=5,由正弦定理得sinBCA=sinACB,3sinA=522,得sin∠BAC=31010.故选C.考点二与三角形面积有关的问题【例2】(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.思维导引:(1)利用正弦定理将已知等式转化为关于角的关系式,结合三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简求B.(2)结合余弦定理、基本不等式及三角形面积公式求解.解:(1)由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①又A=π-(B+C),故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②由①②和C∈(0,π)得sinB=cosB.又B∈(0,π),所以B=π4.(2)△ABC的面积S=12acsinB=24ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accosπ4.又a2+c2≥2ac,故ac≤422,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为2+1.反思归纳三角形面积公式有多种形式,根据条件合理选用,其中S=12absinC=12bcsinA=12acsinB最常用,经常和正余弦定理、向量、基本不等式等知识综合应用.即时突破2(2013年高考浙江卷)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.解:(1)由2asinB=3b及正弦定理sinaA=sinbB,得sinA=32.因为A是锐角,所以A=π3.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=283.由三角形面积公式S=12bcsinA,得△ABC的面积为12×283×32=733.考点三利用正、余弦定理判定三角形形状【例3】(2013黄山市高三二模)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若a(sinA-sinB)+bsinB=csinC.(1)求角C的大小;(2)若2sin22A+2sin22B=1,试判断△ABC的形状.解:(1)由正弦定理得a(a-b)+b2=c2,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cosC=2222abcab=12,∵0Cπ,∴C=π3.(2)∵2sin22A+2sin22B=1,∴1-cosA+1-cosB=1,∴cosA+cosB=1,∴cosA+cos(23π-A)=1,∴32sinA+12cosA=1,∴sin（A+π6）=1.∵0Aπ,∴A=π3,∴△ABC为等边三角形.反思归纳依据已知条件中的边角关系判断时,主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.即时突破3(2012年高考上海卷)在△ABC中,若sin2A+sin2Bsin2C,则△ABC的形状是()(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定解析:由正弦定理及已知得,a2+b2c2,所以cosC=2222abcab0,因此C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.故选C.考点四用正、余弦定理解决实际问题【例4】(2014重庆第一中学高三月考)△ABC为一个等腰三角形形状的空地,腰AC的长为3(百米),底AB的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1和S2.(1)若小路一端E为AC的中点,求此时小路的长度;(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,求12SS的最小值.思维导引:(1)根据长度关系确定E为AC中点时,F所在的位置,然后利用余弦定理求解.(2)设CE=x,CF=y,由周长相等得x+y的值,用x、y表示12SS,利用基本不等式求最值.解:(1)∵E为AC中点,∴AE=EC=32,∵32+332+4,∴F不在BC上.故F在AB上,可得AF=72,在△ABC中,cosA=23.在△AEF中,EF2=AE2+AF2-2AE·AFcosA=152,∴EF=302.故小路一端E为AC中点时,小路的长度为302百米.(2)若小路的端点E、F两点分别在两腰上,如图所示,设CE=x,CF=y,则x+y=5,12SS=CEFABCSCEFSS=ABCCEFSS-1=1sin21sin2CACBCCECFC-1=9xy-1≥292xy-1=1125,当且仅当x=y=52时取等号.故12SS的最小值为1125.反思归纳利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤:(1)分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意图;(2)建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.即时突破4(2013合肥三模)如图,一栋建筑物AB高(30-103)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B、M、D三点共线)测得楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为m.解析:如图,在直角三角形ABM中,AM=sinABAMB=30103sin15=30103sin4530=30103624=206.过A作AN⊥CD于N,则∠MAN=∠AMB=15°,所以∠MAC=30°+15°=45°,因为∠AMC=180°-15°-60°=105°,从而∠ACM=30°.在三角形AMC中,由正弦定理得sin45MC=206sin30,解得MC=403,在直角三角形CMD中,CD=403×sin60°=60,故通信塔CD的高为60m.答案:60备选例题【例题】在△ABC中,B=60°,AC=3,则AB+2BC的最大值为.解析:设AB=c,BC=a,AC=b,则由正弦定理得,sincC=sinbB,∴c=2sinC.同理a=2sinA,∴AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin2π3A+4sinA=2sin2π3cosA-2cos2π3sinA+4sinA=3cosA+sinA+4sinA=5sinA+3cosA=