2.3平面向量的基本定理及坐标表示

肥城一中高一数学组复习:共线向量基本定理：向量与向量共线当且仅当有唯一一个实数使得(0)aabababbb001e2eOCABMNa11eOM22eON设是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，问：与之间有怎样的关系？21,eea21,eea2211eeONOMa？来表示呢任意一个向量都可以用后，是否平面内，确定一对不共线向量221121eeee想一想⑴1e2e1e2e12.aee当与或共线时aa1220aee1120aee⑵？怎样构造平行四边形况时，的位置如下图两种情改变aa1e2eAOCBNMOa1e2eCABNM112212(0,0)aee112212(0,0)aee一、平面向量基本定理:如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量有且只有一对实数,使21ee、a21、2211eea12.ee其中，叫做表示这一平面内所有向量一组基底的2、基底不唯一，关键是不共线.4、基底给定时，分解形式唯一.说明：1、把不共线的非零向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12,ee3、由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解.12,eea1.练习B2.B1212,3.eeee例1：已知向量（如图），求作向量-2.5作法:1e2eOA2..OACB作BC1e-2.51.O如图，任取一点23e1,2.5OAe作OC则，就是所求的向量2,3.OBe二、向量的夹角:OABba两个非零向量，ab和的夹角．ab夹角的范围：180OABab90OABab注意:同起点(0180)AOB叫做向量0OABab练习1:如图，等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；(2)AB与BC的夹角。ABC60'C0120注意:同起点600120小结1.平面向量基本定理:2.向量的夹角:3.一个重要结论:2211eea(0180),1.,,OPmOAnOBmnABP若且则三点共线.12.ee其中，叫做表示这一平面内所有向量一组基底的把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解(2)任作一个向量a，由平面向量基本定理，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj.我们把(x,y)叫做向量a的坐标，记作得到实数对:其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.(1)取基底:与x轴方向,y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.xyoija)y,x(a⑴⑴式叫做向量的坐标表示.注：每个向量都有唯一的坐标.（一）平面向量坐标的概念在直角坐标系内，我们分别OxyAijaxy+axiyj+OAxiyj当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.坐标(x,y)一一对应向量a(二)相等的向量有相等的坐标.),,(),,(2211yxbyxaba，若.,),,(),(21212211yyxxyxyx即则.,并求出它们的坐标、、、分别表示向量，如图，用基底dcbaji.例2jiAAAAa3221解：(2,3)a)3,2(32jib)3,2(32jic)3,2(32jidjyxOicaA1AA2Bbd小结1.平面向量基本定理:2.向量的夹角:3.一个重要结论:2211eea(0180),1.,,OPmOAnOBmnABP若且则三点共线.12.ee其中，叫做表示这一平面内所有向量一组基底的4、对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标.(3)相等的向量有相等的坐标.),,(),,(2211yxbyxaba，若.,),,(),(21212211yyxxyxyx即则练习：P102B组3、4)y,x(a+axiyj4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP2.3.3平面向量的坐标运算复习回顾1.平面向量基本定理:2.向量的夹角:3.一个重要结论:2211eea(0180),1.,,OPmOAnOBmnABP若且则三点共线.12.ee其中，叫做表示这一平面内所有向量一组基底的4321-1-2-3-2246ij），（yxP(,)OPxiyjxy4.向量的坐标表示O向量P（x，y）一一对应OP思考：已知，你能得出的坐标吗？1122(,),(,)axybxy,,ababa平面向量的坐标运算：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）12121212(,)(,)abxxyyabxxyy11(,)axy实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标例3.如图，已知，求的坐标。1122(,),(,)AxyBxyABxyOBA解：ABOBOA2211(,)(,)xyxy2121(,)xxyy一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。(2,1)(3,4)(1,5)ab解：(2,1)(3,4)(5,3)ab343(2,1)4(3,4)(6,3)(12,16)ab(6,19)例4.已知，求的坐标。(2,1),(3,4)ab,,34ababab例5如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法１：设点D的坐标为（x,y）(1,3)(2,1)(1,2)(3,4)(,)(3,4)ABDCxyxyABDC且(1,2)(3,4)xy1324xy解得x=2,y=2所以顶点D的坐标为（2，2）例5.如图，已知的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标。ABCDABCDxyO解法2：由平行四边形法则可得(2(1),13)(3(1),43)(3,1)BDBABC而(1,3)(3,1)(2,2)ODOBBD所以顶点D的坐标为（2，2）变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：当平行四边形为ADCB时，由得D1=(2,2)DCAB当平行四边形为ACDB时，得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为DACB时，得D3=(6,0)D3平面向量的坐标运算小结回顾请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABabab(,)(,)axyxy=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)ab练习：P1001、2、32.3.4平面向量共线的坐标表示平面向量的坐标运算复习回顾请回顾本堂课的教学过程，你能说说你学了哪些知识吗？1.平面向量坐标的加.减运算法则=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(x1,y1)-(x2,y2)=(x1-x2,y1-y2)2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则3.平面向量坐标若A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x2-x1,y2–y1)ABabab(,)(,)axyxy=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)ab思考：如何用坐标来表示两个向量的共线关系呢？abb2.用坐标表示向量平行(共线)的等价条件:1.向量与非零向量平行(共线)的等价条件是有且只有一个实数,使得abba01221yxyx01221yxyx这就是说:的等价条件是)0(//bba新课(0,)bR1122(,),(,),0axybxyb设其中1122(,)(,)abxyxy1212xxyy3.向量平行(共线)等价条件的两种形式:0)0),,(),,((//)2(;)0(//)1(12212211yxyxbyxbyxabababba例6、已知a=（4，2），b=（6，y）且a//b，求y的值。//,42603abyy解:ABC(2,4),(3,6)ABAC解:26340又//.ABAC所以A、B、C三点共线。(1,1),(1,3),(27,5)ABC已知判断A、B、C三点的位例、置关系.∵直线AB、直线AC有公共点AA、B、C三点共线。xyOP1P2P例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。1122(,),(,)xyxyxyOP1P2P(2)xyOP1P2P例8.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标。),(111yyxxPP　　),(),(2211yyxxyyxx　　222(x-x,y-y)PP又12PP=λPP)()(2121yyyyxxxx　　112121yyyxxx推广:已知，，P是直线P1P2上的一点,且P1P=λPP2(λ≠-1)求P点的坐标.),(111yxP),(222yxP解:设P(x,y),则练习：1、已知平面内三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)1613若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.解：由已知得a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2)∵(a+kc)∥(2b-a)∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0解得k=-并确定此时它们是同向还是反向共线？∵a＋kc=(2b－a)513∴同向共线1.向量平行(共线)等价条件的两种形式:0)0),,(),,((//)2(;)0(//)1(12212211yxyxbyxbyxabababba课堂小结2、中点坐标公式221xxxAB中点的坐标为练习：P1004、5、6