2.3控制系统的结构图与信号流图2

2-3系统结构图与信号流图1.系统结构图的组成和绘制2.结构图的等效变换和简化3.信号流图的组成及性质4.信号流图的绘制5.梅森增益公式6.闭环系统的传递函数3.信号流图的组成及性质对于欧姆定律，也可以表示为:UR1I＝U1/RI信号流图起源于梅森利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号传递网络。如：U=RI用信号流图表示：IRU图2-38欧姆定律与信号流图对于同一系统，信号流图不是惟一的。节点代表方程式中的变量，以小圆圈“O”表示；支路是连接两个节点的定向线段信号流向由支路上的箭头表示，而传输关系（支路增益，传递函数）则标注在支路上。如右图的信号流图，图中有6个变量，9条支路组成。6个变量：x1、x2、x3、x4、x5、x6。9条支路：1、a、b、c、d、e、f、g、1。dx6x11abcx2x3x4efgx51图2-39典型的信号流图信号流图表示的相互关系：x1=x1x2=x1+ex3x3=ax2+fx4x4=bx3x5=cx4+dx2+gx5x6=x5信号流图的基本性质：(1)节点标志系统的变量。节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和。从同一个节点流向各支路的信号都用该节点的变量表示。如节点x3标志的变量是来自节点x2和节点x4的信号之和，x3=ax2+fx4再如：x2节点既流向x3节点，又流向x5节点。dx6x11abcx2x3x4efgx51(3)信号在支路上只能沿箭头单向传递。(4)对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的。(2)支路相当于乘法器。当信号流经支路时，信号被乘以支路增量，就变换成为另一信号。如，x4=bx3；x3乘以b后变成x4。dx6x11abcx2x3x4efgx51信号流图的名词术语：(1)、源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出的支路（即输出支路），而没有信号输入的支路（即输出支路）。如节点：x1(2)、阱节点（输出节点）：在阱节点上，只有输入支路，而没有输出支路。如节点：x6(3)、混合节点：既有输入支路，又有输入出支路。如节点：x2、x3、x4、x5。dx6x11abcx2x3x4efgx51前向通路上各支路增益之积，称为前向通路总增益。一般用pk表示。如上图有两条前向通路：一条为：x1－x2－x3－x4－x5－x6,其总增益：p1=abc另一条为：x1－x2－x5－x6,总增益为：p2=ddx6x11abcx2x3x4efgx51(4)、前向通路：信号从输入节点到输出节点传递过程中，每个节点只通过一次的通路。(5)、回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。回路中所有支路的增益之积称为回路增益，用La表示。如：回路1x2－x3－x2增益：L1=ae回路2x3－x4－x3增益：L2=bf回路3x5－x5增益：L3=gdx6x11abcx2x3x4efgx51(6)、不接触回路：回路之间没有公共节点的回路。如：x2－x3－x2回路与x5－x5回路没有公共节点x3－x4－x3回路与x5－x5回路也没有公共节点而：x2－x3－x2与x3－x4－x3有公共节点dx6x11abcx2x3x4efgx514.信号流图的绘制（1）由微分方程绘制信号流图a.首先将微分方程进行拉氏变换b.对系统的每一个变量指定一个节点c.按照变量的因果关系，从左向右排列d.用标明支路增益的支路，根据数学方程式将各个节点变量正确连接。解：列方程：）（　　　　　）（　　　　　）（）（　　　4)()(3)()()(21)()(1)()()(22121111RtitutititidtiCRtitutuRtituooi例2-17：求电路的信号流图，设电容器的初始电压值为u1(0)。R1uiuoR2Cii2i1图2-24RC无源网络式中，ui(t)—输入电压；uo(t)—输出电压；u1(t)—电容器电压。)4()()()3()()()()2()0()(:)0()(1)()1()()(:)()()(221111212111111　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　或　　　　　　　或　RsIsUsIsIsICUsCIsRIsUsIsCRsIRsUsUIsURsIsUooioi则信号流图为：节点。序排列，每一变量一个将每一变量从左往右顺取拉氏变换：R1Csu1(0)-CI2R2UoI11Ui111RI1-1Ui－UO(2)由系统结构图绘制信号流图由结构图绘制信号流图按以下步骤：a.在结构图上的信号线上用小圆圈标志出传递信号，便得到节点；b.用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路；则结构图就变换为相应的信号流图。为了简化信号流图，图上支路增益为1的相邻的两个节点一般可以合并为一个节点，但对于源节点或阱节点不能合并，同时有比较关系的节点也不能合并。由结构图转化为信号流图时要注意：(1)在结构图上，比较点之前没有引出点(但在比较点之后有引出点)时，只需要在比较点后设置一个节点即可。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)e1e2e3－G1(s)-G2(s)G3(s)G4(s)(2)在比较点之前有引出点时，需要在引出点和比较点各设置一个节点，分别标志两个变量，而这二个节点之间的支路增益是1。G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)e1－e3G1(s)G4(s)1e1e3G3(s)-G2(s)例试将方框图化为信号流图R(s)C(s)G1G3G2H2H1+11G1G2G3R(s)C(s)1-H2H1-15.梅森增益公式从输入到输出端有二条前向通道：p1=abcd和p2=e有三个回路：La=bf、Lb=gc和Lc=dh有二个不接触回路：La=bf与Lc=dhabcd1efghUiUoX1X2X3X4用梅森增益公式可以直接求出从源节点到阱节点的传递函数。梅森增益公式是根据克莱姆法则求解线性方程组，将解的分子多项式和分母多项式与信号流图相联系，得出来的结果。如信号流图：根据信号流图列出方程组X1=fX2+aUiX2=bX1+gX3X3=cX2+hX4X4=dX3+eUiUo=X4整理得：X1－fX2=aUibX1－X2+gX3=0cX2－X3+hX4=0－dX3+X4=eUiabcd1efghUiUoX1X2X3X4用克莱姆法则求出X4(即变量Uo)iiiUbfgceabcdeUdcgbaUf)]1([0001001014＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　X1－fX2=aUibX1－X2+gX3=0cX2－X3+hX4=0－dX3+X4=eUibfdhfbgcdhdhcgbf－＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11001001001方程式阻的系数行列式为：分母：dh、gc、bf分别是三个回路的增益，而bfdh是二个不接触回路bf与dh增益之积bfdhfbgcdhbfgceabcdUUsGio－1)1()(ioUbfdhfbgcdhbfgceabcdXU－1)1(44前向通道：p1=abcd和p2=e；回路：La=bf、Lb=gc和Lc=dh不接触回路：La=bf与Lc=dhabcd1efghUiUoX1X2X3X4(2-77)cbaLLL1(2-78)乘积的和项。接触的回路增益之信号流图中每两个互不—路的回路增益之和项；信号流图中所有单独回—cbaLLLbfdhfbgcdhbfgceabcdUUsGio－1)1()((2-77)分子：abcd是一条前向通道增益e(1－gc－bf)中，e是另一条前向通道增益，gc、bf分别是与e不相接触的二个回路的增益。abcd1efghUiUoX1X2X3X4梅逊增益公式:称为系统特征式。—所有单独回路增益之和∑La∑LbLc—所有两两互不接触回路增益乘积之和∑LdLeLf—所有三个互不接触回路增益乘积之和nkkkpP11(2-82)式中，P—从源节点到阱节点的传递函数(或总增益)；n—从源节点到阱节点的前向通路总数；pk—从源节点到阱节点的第k条前向通路总增益；具有任意条前向通路及任意个单独回路和不接触回路的复杂信号图，求源节点到阱节点间传递函数：△=-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…1△k称为第k条前向通路的余子式。△k求法:去掉与第k条前向通路相接触的所有回路的回路增益项（包括回路增益的乘积项）后的余项式△。nkkkpP11abcd1efghUiUoX1X2X3X4k=1时，p1=abcd，△1=1；k=2时，p2=e，△2=1-gc-bf。△=-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…1)1(221121bfgceabcdpppkkkbfdhfbgcdhbfgceabcdUUsGio－1)1()(例2-19试用梅森公式求信号流图的传递函数C(s)/R(s)。1G1R(s)G2G3G4C(s)1-H3-H2-H1解：从源节点R到阱节点C有一条前向通路，p1=G1G2G3G4回路增益分别是：L1=－G2G3H2,L2=－G3G4H3,L3=－G1G2G3G4H1;无不接触回路，且前向通路与所有回路都接触，故余子式△1=1。系统传递函数为：3432321432143211111)()(HGGHGGHGGGGGGGGpsRsCP应用梅逊公式的要点:从信号流图上：(1)、找出所有的前向通道数n；(2)、找出所有的前向通道求pk；(3)、找所有的回路，求ΣLa；(4)、在所有的回环中区分出不接触回路求：ΣLbLc、以及ΣLdLeLf……；(5)、按式子Δ=1-ΣLa+ΣLbLc-ΣLdLeLf+…，求出Δ；(6)、区分所有与第k条前向通道不接触的回路求Δk；(7)、代入公式：nkkkPP11abcd1efghUiUoX1X2X3X46.闭环系统的传递函数图中，R(s)，N(s)都是作用于系统的外加信号。以及在R(s)或N(s)作用下，以误差信号E(s)作为输出量的闭环误差传递函数:)()()()(sNsEsRsE或B(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)－N(s)C(s)一个典型的闭环系统的结构图R(s)是有用输入信号，研究有用输入作用R(s)对系统输出C(s)的影响，需要求有用输入信号作用下的闭环传递函数C(s)/R(s).N(s)是扰动信号，为了研究扰动作用N(s)对系统输入的影响，需要求扰动作用下扰动作用下的闭环传递函数C(s)/N(s)。(1)．输入R(s)作用下的闭环传递函数令：N(s)=0，只考虑R(s)的作用)()()(1)()()(2121sHsGsGsGsGs)()()()(1)()()()()(2121sRsHsGsGsGsGsRssCR量为：输入信号下系统的输出G1(s)H(s)G2(s)R(s)C(s)－(2-84)(2-83)(2)．在扰动作用下的闭环传递函数令：R(s)=0,只考虑N(s)的作用)()()(1)()(212sHsGsGsGsn)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsCNG1(s)H(s)G2(s)N(s)C(s)－H(s)G1(s)G2(s)N(s)C(s)－(2-85)系统在扰动作用下的输出为：由叠加原理，当R(s)和N(s)同时作用于系统时的输出：)()()()()()()()(11)()()(22121sNsGsRsGsGsHsGsGsCsCsCNR　　　　时，，且当)()(1)(1)()(1)()()(121sRsHsCsHsGsHsGsG结论：反馈系统的输出信号近似对输入信号完全复现，且对扰动具有较强的抑制能力。)()()()(1)()()(2121sRsHsGsGsGsGsCR)()()()(1)()(21