最新北师大版九年级数学上册第四章图形的相似小结与复习

图形的相似小结与复习北师大版九年级数学上册1.下列各组图中的两个图形相似的是（）知识回顾ABCD形状相同的图形叫做相似图形.C相似图形的定义2.如图，四边形ABCD与EFGH相似，则∠α＝_____,∠β＝_____,EH＝_______.β85°75°ABCD8cm10cmα120°EFGHx16cm相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.相似多边形对应边的比叫做相似比.（相似比与叙述的顺序有关）.85°80°20cm相似多边形的性质知识回顾3.两个相似三角形的对应中线的比为1:2,则它们的周长比为_____,面积比为______.（1）相似三角形(多边形)周长的比等于相似比.（2）相似三角形(多边形)面积的比等于相似比的平方.（3）相似三角形(多边形)的对应边上的高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比.1:21:4相似三角形(多边形)的性质知识回顾4.如图，E是□ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F．在不添加辅助线的情况下，图中相似三角形有:_________________________________________________.ABCDEF△EAF∽△EBC;△EAF∽△CDF;△EBC∽△CDF平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.相似三角形的判定知识回顾5.如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则需添加一个条件:____________________________________________________________.ABCP∠ACP=∠B;或∠APC=∠ACB;或AP:AC=AC:AB(即AC2=AP·AB)两角分别相等的两个三角形相似.三组对应成比例的两个三角形相似.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.相似三角形的判定知识回顾ADEBABABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB知识回顾相似三角形基本图形6.下列每幅图中的两个图形不是位似图形的是()D如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,像这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.EABCDDFAOBC位似图形的定义和性质知识回顾在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k(在原点的同侧)或-k(在原点的异侧).、1.如图,在边长为1的小正方形网格纸中△OAB的顶点O、A、B均在格点上,且O是直角坐标系的原点,点A在x轴上.(1)以O为位似中心,将△OAB放大,使得放大后的△OA1B1与△OAB的相似比为2,画出△OA1B1.(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧).(2)写出A1、B1的坐标.B1A1典例精析（4，0）（2，-4）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.解题小结位似中心在连接两个对应点的线段(或延长线)上.（-1，2）（-2，0）2.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．求证:△ADE∽△BEF；ABCDEF证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE=∠FBE=90°，∴∠ADE+∠DEA=90°.解题小结证三角形相似的方法有多种,应根据已知条件合理选用.在垂直的条件较多时，经常用到同角或等角的余角相等。又EF⊥DE，∴∠DEA+∠FEB=90°，∴∠ADE=∠FEB，∴△ADE∽△BEF.解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x，得44yxx解题小结ABCDEF所以当x=2时，y有最大值，y的最大值为1.222111(4)[(2)4](2)1444yxxxx∴3.小明想利用影长测量树高.把长为2.4m的标杆CD直立在地面上，此时量出标杆的影长为1.6m，树的影长为2.8m,求树高AB是多少？你能解决这个问题吗？ABCDEF2.41.62.8典例精析解:太阳光是平行光线,因此∠CED=∠AFB,CDEABF实际问题建立相似三角形模型数学问题利用对应边的比相等求解解题小结CDDEABBF∴241628AB即解得AB=4.2,因此树高4.2m.又∠CDE=∠ABF=90°,∴△CDE∽△ABF.典例精析小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5m，其影长为1.2m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4m，墙上影长为1m，那么这棵大树多高?D6.4？1ABC解：作DE⊥AB于E,∴△ADE∽△EGF.∴解得AE=8.∴AB=8+1=9m.易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分156412AEE1.21.5EFG小明想利用影长测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5m，其影长为1.2m，测量教学楼旁的一棵大树影长，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4m，墙上影长为1m，那么这棵大树多高?D6.4？C易错之处:物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分1AB1.21.5EFGH巩固练习1.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点PB．点OC．点MD.点NOPMN3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．2．已知△ABC与△DEF相似比为3，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（）A．2B．3C．6D．54ACB巩固练习4.如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形．则a、b、c满足的关系式是（）A.b=a+cB．b=acC．b2=a2+c2D．b=2a=2cA巩固练习5.如图：小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在地面BC上和土坡的坡面CD上，测得BC=10m,CD=4m，CD与地面成30°角，同时测得1m标杆的影长为2m，那么树的高度是多少？CABDEF3、如图，已知：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。4614ADCB解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP设PD=x，则PB=14―x，∴6：4=（14―x）:x则有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则则有AB:PD=PB:CD设PD=x，则PB=14―x，∴6：x=（14―x）:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp