3.1.1数系的扩充和复数的概念

【问题导思】1．方程x2＝2在有理数范围内是否有根？在实数范围呢？方程x2＋1＝0在实数系是否有根？那么怎样解决？【提示】引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？【提示】a＋bi(a，b∈R)的形式．3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标：1.了解数系扩充的必要性及其过程.2.理解复数的概念以及复数相等的充要条件.3.了解复数的表示方法及有关概念.重点：复数的分类及复数相等的充要条件.难点：复数的表示方法及有关概念.(1)复数的定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做．(2)虚数单位：i，其满足.(3)复数集：全体复数构成的集合.(4)复数的代数形式：z＝．(5)实部、虚部：对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，叫做复数的实部，叫做复数的虚部．复数i2＝－1Ca＋bi(a，b∈R)ab知识1：复数的有关概念知识2：复数分类(1)对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是；当且仅当时，它是实数0；当b≠0时，叫做；当a＝0且b≠0时，叫做．这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下：实数a＝b＝0虚数纯虚数)0)(0(),0(),(时为纯虚数当虚数实数复数abbRbabia(2)用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系牛刀小试说出下列复数的实部和虚部231虚部实部虚部实部虚部实部虚部实部虚部实部虚部实部0)6()5(3)4(22)3(2)2(312)1(iiii21220030100牛刀小试iiiiiii22),31(,293,85,,,0,72,618.0,72272618.0指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？实数02ii72i72ii85ii293)31(i)31(ii22虚数纯虚数知识3：复数相等若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是且.a＝cb＝da＋bi＝0⇔__________.a＝b＝0小组探究1.复数m＋ni的实部是m，虚部是n吗？2.复数bi一定是纯虚数吗？3.两个复数能比较大小吗？1.不一定，只有当m、n∈R时，m才是实部，n才是虚部．2.不一定．当且仅当b∈R且b≠0时，bi是纯虚数.3.两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则不能比较大小，只能判断两个复数相等或不相等.例1、实数m取什么值时，复数是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.immz)1(1变式：实数m取什么值时,复数(m2－3m＋2)＋(m2－4)i是:(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】设z＝(m2－3m＋2)＋(m2－4)i.(1)要使z为实数，必须有m2－4＝0，得m＝－2或m＝2，即m＝－2或m＝2时，z为实数．(2)要使z为虚数，必须有m2－4≠0，即m≠－2且m≠2.故m≠－2且m≠2时，z为虚数．(3)要使z为纯虚数，必须有m2－4≠0，m2－3m＋2＝0，∴m≠－2且m≠2，m＝1或m＝2.∴m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．【题后小结】(1)只有确定了复数的实、虚部才能讨论复数的分类．(2)设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0；③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.例2、（1）若5－12i＝xi＋y(x，y∈R)，则x＝________，y＝________.（2）已知(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，其中x，y∈R，i为虚数单位．求实数x，y的值．[解析](1)由复数相等的充要条件可知x＝－12，y＝5.(2)[解]根据复数相等的充要条件，由(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，得2x－1＝y，1＝－3－y，解得x＝52，y＝4.即x＝52，y＝4.【题后小结】解决复数相等问题的步骤(1)等号两侧都写成复数的代数形式；(2)根据两个复数相等的充要条件列出方程(组)；(3)解方程(组)．课堂小结：（本节课我学到了什么？）1.复数的概念2.复数的分类3.复数相等的充要条件1、完成课本106页A组1，22、完成《复数的几何意义》预习案