第三章 晶格的振动

第三章晶格振动和晶体的热学性质3.1一维原子链的振动3.2晶格振动的量子化声子3.3固体比热3.4非简谐效应1.格波晶格振动由于晶体内原子之间存在相互作用力，各原子的振动并不是孤立的而是相互联系的，从而使晶体内原子的振动表现为各种模式的波，这种波称为格波，振动为晶格振动。2.声子当温度不太高时，格点振动十分微小，原子之间的非简谐作用可以忽略不计，即采用简谐近似，那么这种振动模式是相互独立的，由于晶格的周期性，模式采取的能量不是连续的，而是分立的，这种独立而又分立的振动就表示不连续的能量，这就是一种量子的概念，也就是我们我们需要引入的一个重要概念—声子。,q格波的独立模式可以用独立谐振子的振动来表述，根据量子力学，谐振子的能量是量子化的。声子：用来表述晶格振动的简谐振子的能量量子。3.1一维原子链的振动一、一维简单晶格的振动（一维单原子链的振动）1.模型和主要结论设由同类原子等距离排列的一条无限长的直线上形成单原子链，原子之间的距离为a，质量为m且只能沿直线方向振动形成纵波。可求出其振动频率，其中q为圆波矢，为恢复力常数。2sin2qamq1n2nn1n2na2nx1nxnx1nx2nx2.恢复力和位移的关系（类似于胡克定律）设在平衡位置时两个原子的相互作用势能，表示第n个原子离开平衡位置的位移，第n+1个原子和第n个原子的相对位移，则产生相对位移后，相互作用势成，将它在平衡位置附近展开：0xUnxnnxx10xU•其中为常数，（平衡位置势能最小）•当振动十分微小时，即很小时，可以忽略三阶以上的项，称简谐近似。•恢复力•恢复力常数...)(21)()(...)(21)()()(222020220000000xxxxxUxUxUxxxUxxxUxUxU0xU0)(0xxU0)(22xxUUF022xxU3.振动方程及试探解如果只考虑相邻原子的相互作用，则第n个原子受到的总的作用力为：振动方程为它的试探解为qna为第n个原子振动的位相因子。)()(11nnnnxxxx)2(11nnnxxx)2(1122nnnnxxxdtxdm)(tqnainAex4.振动频率由代入振动方程)(222)(.)(tqnaintqnaintqnainAedtxdAeidtdxAextiiqnaaniqaniqtqnaieeeeAAem)2()1()1()(2)2(2iqaiqaeem)cos1(22qam2sin422qam|2sin|2qam5.结果讨论1）2）当q很小时，即长波情形,线性关系，可以把介质看成是连续介质，把格波看成弹性波。aaqqa,2,22aamax022sinqaqaqamqam2121223）当4）色散关系的周期：一个倒格子矢量证明：)2()(aqxqxnnmaq2,maxa2qxeAeAeaqxnnitqnaitinaaqin22)2(qqaaqaaq2sin22sin)2(maxmax)2()(aqqa4a3a2aa2a3a0q可把q限制在第一布里渊区),(aa例如：在晶格常数为a的一维简单晶格中，波长的两个格波所对应的原子振动有无不同？5/4,4'aa答：因为相应于的格波波矢，而相应于的格波波矢，所以，即两个波矢差正好是一个倒格子基矢，根据我们所学的知识可知相差任意倒格矢的两个波矢只能代表一种晶格振动的状态，所以这两个格波完全等价。它们的原子振动完全相同。看图可以得到：对于原子所在的位置，两种格波的振动方位完全相同。4a1242qaa45a210542qaa21422qqaa二、一维复式晶格的振动（一维双原子链的振动）1.模型和主要结论在一条无限长的直线上周期地排列着两种不同的原子，相邻同种原子之间的距离为2a，质量为m的原子处于…2n-1，2n+1，2n+3…各点，质量为M的原子处于…2n-2，2n，2n+2…各点，（Mm），原子只能沿直线方向振动形成纵波，可以求出振动频率为：})]2cos(2[){(21222qamMMmMmmM2.振动方程及其试探解类似于一维单原子链的讨论12222212nnnxxxnF221232222nnnxxxnF)2()2(2212322222122222122nnnnnnnnxxxdtxdMxxxdtxdm])12([12])22([22{tanqintanqinAexBex3.色散关系把试探解代入运动方程得到：两边同时除以得到同理：]2)([]2)([22AeeBAmBeeABMiqaiqaiqaiqatanqitanqitanqitanqiAeBeBeAem122221222tanqie120)cos(2)2(0)2()cos(222{BqaAmBMAqaA，B不全为0的充分必要条件是系数的行列式为0.02cos2cos2222Mqaqam})]2cos(2[){(21222qamMMmMmmM}])(sin41[1){(21222mMqamMMmmM或者分析：对于一维复式格子，可以存在两种不同的格波，这两种不同的格波各有自己的色散关系。声频支：光频支：})]2cos(2[){(212221qamMMmMmmM})]2cos(2[){(212222qamMMmMmmMa2a221)2(m21)2(M声频支光频支0q一维复式晶格的色散关系0,2max2qaqm2,2min2aqM2,2max10,0min1q24.结果讨论1）对于声频支•当q=0时，•当时，•当q-0时，0}]2[){(212221mMMmMmmMaq2MmMMmmM2]}[){(21}])(sin41[1){(212221mMqamMMmmM1)(sin422mMqamMqamMqamMmMqamMMmmMsin2sin2]})(sin21[1){(122221当时，2）对于光频支•当q=0时，•当时，22}]2[){(212222MmmMmMMmMmmMaq2mmMMmmM2]}[){(22为约化质量其中MmmM5.声频支和光频支的振动特点1）声频支两种原子的振幅比：•，相邻两种不同原子的振动方向相同。•长波近似下，q-0，说明对于长声学波，相邻原子沿同一方向运动，相邻原子的位移相同。2112cos2)(mqaBA0cos2)2(21qaBAm0)(1BA01122)(1BA当q-0时，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相做整体运动。长声学波代表原胞质心的振动。titanqintiAetiBetanqinAeAexBex])12([12])22([222）光频支两种原子的振幅比：（相邻两种不同原子的振动方向相反）长波近似下，0)2(cos22BMqaAqaMBAcos22)(2220)(2BA022122)(222BMAmmMMMBA说明对于长光学波，相邻两种不同原子的振动方向相反，原胞中不同原子做相对运动，质量大的振幅小，质量小的振幅大，原胞的质心保持不变。光学波代表原胞中两个原子的相对运动。三、玻恩—卡门边界条件1.玻恩—卡门假设和主要结果a.由N个原子构成的原子链为无限长的原子链上的一段，这里N=mMm—每个原胞的原子数，M—原胞数。b.把这N个原子组成的一维原子链看成一个闭合环，它包含有限数目的原子，但实际上第N+1个原子就是第1个原子。只要N足够大，圆环半径远远大于晶格常数就局部看仍认为原子排列在一条直线上从而得出结论。玻恩—卡门边界条件：晶格振动的波矢数等于晶体的原胞数。晶格振动的频率数等于晶体的自由度数（振动模式数）2.一维单原子链的波矢数（q取分立值）即l只能取N个不同的值，q只能取N个不同的值。因此q的取值数=晶体的原胞数。22221)1(11NlNaqaNalqlNqaeAeAeAexxxMNqNaitqaitaNqitqnainN...)2,1,0(l222222222122)12()12(12112MlMaqaNalMalqlMqaeAeAeAexxxMNMaqitqaitaMqitanqinM...)2,1,0(l3.一维双原子链的波矢数l只能取M个不同的值，q只能取M个不同的值，因此q的取值数等于晶体的原胞数。4.晶格振动的频率数一维单原子链：一维双原子链：结论：一维单原子链振动的频率数等于晶体中原子的自由度数。一维双原子链振动的频率数（2M）等于晶体中原子的自由度数。对于二维、三维也成立。|2sin|2qam})]2cos(2[){(21222qamMMmMmmM四、晶格振动设晶体的基矢为，沿基矢方向各有个原胞，则晶体的原胞数设每个原胞有n种不同的原子，不同原子偏离平衡位置的位移为，原胞中各原子的位置用，原胞中心位矢，写出相应的动力学方程并求出其格波解代入动力学方程求出有3n个根，在这3n个根中，有3个声学波，有3n-3个光学波。321,,aaaB—K条件：为倒格子基矢。三维格波波矢的基矢：，每个占据体积单位体积的波矢数（波矢密度）：倒格子空间一个原胞可取波矢数：每一个波矢q对应3支声学波，3n-3支光学波，所以晶格振动模式数（频率数）：仍满足B—K条件。333222111333222111332211222bNlbNlbNlqlaNqlaNqlaNqRxaNRxRxaNRxRxaNRxllllllnNnN3)333(332211,,NbNbNbVNNbNbNb333322112213)2(VNVbbb33212qq3.2晶格振动的量子化声子•晶格振动是晶体中各原子集体的做振动，结果表现为晶体中的格波，一般而言，格波并不是简谐的，当振动微弱时（简谐近似），格波之间的相互作用可以忽略，格波是简谐波，认为他们是独立的振动模式，这种独立的振动模式可以用独立谐振子的振动表示。•声子：晶格振动中的简谐振子的能量量子。一、一维简单晶格求证：含有N个原子的一维单原子链振动的总能量可以表示为N个独立谐振子的能量之和。1.考虑周期性边界条件（B—K条件）后，任一格点在t时刻的位移，对于不同的q，设构成一个新的空间，把在新空间中表示出来，它在各坐标轴上的分量，由于q有N个取值，所以上式有N项（原胞数）。)(t