第二章 对偶问题

OR11第二章对偶问题与灵敏度分析重点与难点：1、对偶问题的定义，对偶定理，对偶问题最优解的经济含义，由最优单纯形表求对偶问题最优解；2、对偶单纯形法的特点，对偶单纯形法求解；3、灵敏度分析：价值系数cj发生变化，右端常数bi发生变化，增加一个变量，增加一个约束，A中对应非基变量的一列元素发生变化。OR12第二章对偶问题与灵敏度分析要求：了解LP对偶问题的实际背景了解对偶问题的建立规则与基本性质掌握对偶最优解的计算及其经济解释掌握LP的灵敏度分析OR132.1对偶问题2.1.1对偶问题的提出回顾例题1：现在A、B两产品销路不畅，可以将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我们的（资源的）价格底线是多少？产品A产品B资源限制劳动力设备原材料9434510360200300单位利润70120OR14对偶模型设每个工时收费Y1元，每设备台时费用Y2元，每单位原材料收费Y3元。出租收入不低于生产收入：9y1+4y2+3y3≥704y1+5y2+10y3≥120目标：ω=360y1+200y2+300y3出租收入越多越好？还是至少不低于某数？OR15原问题与对偶问题之比较原问题：对偶问题：maxZ=70X1+120X2minω=360y1+200y2+300y39X1+4X2≤3609y1+4y2+3y3≥704X1+5X2≤2004y1+5y2+10y3≥1203X1+10X2≤300y1≥0,y2≥0,y3≥0X1≥0X2≥0OR162.1.2对偶规则原问题一般模型：对偶问题一般模型：maxZ=CXminω=YbAX≤bYA≥CX≥0Y≥0OR17对偶规则P57.原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）目标函数maxz目标函数min⍵n个n个变量约束条件≥0≥≤0≤无约束＝约束条件变量≤≥m个m个≥0≤0＝无约束约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项OR18例题2：写出下列原问题的对偶问题0,0,03254321652..432max43214321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsz为自由变量，OR19例题3：写出以下模型的对偶问题例题3maxω=7y1+4y2-2y3minZ=3x1+2x2-6x3+x52y1+y2-y3≤32x1+x2-4x3+x4+3x5≥7y1+3y3≤2x1+2x3-x4≤4-4y1+2y2≤-6-x1+3x2-x4+x5=-2y1-y2-y3≥0x1，x2，x3≥0;3y1+y3=1x4≤0;x5无限制y1≥0y2≤0y3无约束OR110例题4：写出以下模型的对偶问题为自由变量xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsz543214314321543254321,0,2551025222332643..87523maxOR111例4的解法2551025222332643..87523max22114314321543254321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsz0,,,0,,847235232332..255102526min75364211321321762154327654321yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyts无约束，OR1122.1.3对偶问题的基本性质1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。2.弱对偶性：若是最大化原问题的可行解，是对偶问题的可行解，则存。3.无界性：若原问题为无界解，则对偶问题无可行解。（注：该性质的逆不存在。当原问题无可行解时，其对偶问题可能为无界解，也可能无可行解。）4.最优解定理：若两互为对偶的问题均有可行解，且可行解对应的目标函数值相等，则该可行解分别为他们的最优解。XYbYXCOR113性质3的应用P60已知LP问题：试用对偶理论证明上述LP问题无最优解。0,,122..max32132132121xxxxxxxxxxxtszOR1145.对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。若原问题最优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1。6.互补松弛性：在LP的最优解中，若对应某一约束条件的对偶变量值不为零，则该约束条件取严格等式；反之，若约束条件取严格等式，则其对应的对偶变量一定为零。（另一解释：在互为对偶的两个问题中，①若原问题的某个变量取正数，则对偶问题相应的约束条件必取“＝”式；②若原问题的某个约束条件取不等式，则对偶问题相应的变量为零。）OR115性质6的应用P60已知线性规划问题：已知其对偶问题的最优解为：试用对偶理论找出原问题的最优解。5,4,3,2,1,0332432..32532min543215432154321jtsxxxxxxxxxxxxxxxxj5,5/3,5/4*2*1zyyOR1167.设原问题是maxz=CX,AX+Xs=b;X,Xs≥0,其对偶问题是min⍵=Yb,YA-Ys=C,Y,Ys≥0,则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解CBB-1（符号相反），其对应关系如下：OR117非基变量基变量XBXNXS0XSbBNIjCBCNj0CBCN初始单纯形表XNXBXSI=B-1BB-1NB-1CBXBB-1bCBCN00CN-CBB-1N_-CBB-1互为对偶问题在单纯形表间关系：1、原问题的基解对应于对偶问题的检验数。2、原问题的松弛变量对应对偶问题的决策变量。3、原问题的基变量对应对偶问题的非基变量。OR118某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得获利最多？回顾例题1：现在A、B两产品销路不畅，可以将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我们的（资源的）价格底线是多少？产品A产品B资源限制劳动力设备原材料9434510360200300单位利润70120OR119CjC1C2…CnCBXBbX1X2X3X4X5θj000X3X4X53602003009410045010310001904030σj07012000000120X3X4X224050307.8010-0.42.5001-0.50.31000.130.7620100σj360034000-12701200X3X1X2842024001-3.121.161000.4-0.2010-0.120.16σj4280000-13.6-5.2y1y2y3OR1202.1.4对偶最优解的经济解释—影子价格Z*=CBB-1b=Y*b=b1y1*+b2y2*+…+bmym*(*)Z=Z(b)b为资源求偏导：Z*b=CBB-1=Y*=(y1*,y2*,…ym*)对偶解yi*的经济意义：其它条件不变的情况下，第i种资源改变一个单位所引起的目标函数最优解的变化。OR121另一种直观的解释W=yb=(y1…ym)b1bm…=b1y1+b2y2+…+bmymbi：第i种资源的数量yi：对偶解bi增加bi,其它资源数量不变时,目标函数的增量Z=biyiyi：反映bi的边际效益(边际成本)OR122影子价格的应用情况①某资源对偶解0，该资源有利可图，可增加此种资源量；某资源对偶解为0，则不增加此种资源量。情况②直接用影子价格与市场价格相比较，进行决策，决定是否买入该资源。即：影子价格所含有的信息：1、资源紧缺状况；2、确定资源转让基价；3、取得紧缺资源的代价。OR123对偶单纯形法设有问题maxZ=CX，AX＝b，X≥0又设B是其一个基，当非基变量都为0时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有一个负分量，设第i个为负分量，并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，这种情况就可以用对偶单纯形法来进行求解。OR124对偶单纯形法的计算步骤P62（1）根据LP问题，列出初始单纯形表。检查b列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已得到最优解，停止计算。若检查b列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保持非正，则进行以下计算。（2）确定换出变量：将B-1b中最小的负分量所对应的变量确定为换出变量。（3）确定换入变量：检查换出变量所在行（第L行）的各系数aLj。若所有的aLj≥0，则无可行解，停止计算。若存在aLj0，则计算，将其最小值所对应的变量作为换入变量。（4）进行迭代计算。重复1－4步，直至得到最优解为止。0minaazcljljjjjOR125对偶单纯形法举例利用对偶单纯形法求解以下线性规划问题：0,,1242332..3max321212132121xxxxxxxxxxxxtszOR126cjCBXBbx1x2x3x4x5-1-3000-2-3-1-1-2-2100010解法001-3-4-1x3x4x5000-1-3000cj-zjj1/33/2x3x1x50101/32/3-4/3100-2/3-1/3-1/3001cj-zj-1/34/31/30-7/30-1/30j1/20-10x4x1x5½3/21/2010-1/2½-3/2-3/2-1/2-1/21000010-10cj-zj0-5/2-1/200-3/2此时所有的B-1b均≥0，且所有的cj-zj均≤0，此时已得到最优解为：X*=(3/2,0,0,1/2,1/2)TZ*=-3/2)5,4,3,2,1(,01242332..003max5214213215421jtszxxxxxxxxxxxxxxjOR127总结：对偶单纯形法与单纯形法的比较单纯形法对偶单纯形法保持B-1b≥0所有的cj-zj≤0最优解时要求所有的cj-zj≤0B-1b≥0OR128对偶单纯形法的应用时机要求最大化时，在单纯形表中：如果检验数均非正，而列中有负值，此时用对偶单纯形法求解。若所有，中有正值，则用单纯形法求解；若列中有负值，且中有正值，则必须引入人工变量，建立新的单纯形表，重新计算。B-1bB-1b≥0cj-zjB-1bcj-zjOR129对偶单纯形法的优点P64（1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以直接计算。（2）当变量多于约束条件，对这样的LP问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。因此，对变量较少，而约束条件很多的LP问题，可以先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。（3）在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。OR1302.2灵敏度分析（考研时常考的知识点）灵敏度分析通常有两类问题：①是当C,A,b中某一部分数据发生给定的变化时，讨论最优解与最优值怎么变化；②是研究C,A,b中数据在多大范围内波动时，使原有最优基仍为最优基，同时讨论此时最优解如何变动？灵敏度分析的两把尺子：σj=Cj-CBB-1pj≤0；XB=B-1b≥0OR1312.2.1右端项bi变化的灵敏度分析bi变化到什么程度可以保持最优基不变？用尺度xB=B-1b≥0。问题：为什么不用尺度σj=Cj-CBB-1pj≤0？OR132例题：求以下模型中第二个约束条件右端项b2的变化范围。maxZ=70X1+120X29X1+4X2≤3604X1+5X2≤2003X1+10X2≤300X1≥0X2≥0OR133Cj70120000CBXBbX1X2X3X4X5θi000X3X4X53602003009410045010310001904030σj07012000000120X3X4X224