通信原理教程8

1第八章数字信号最佳接收原理8.1数字信号的统计表述设：一通信系统的最高传输频率等于fH，接收电压用其抽样值表示。噪声抽样电压的一维概率密度若在一个码元期间内以2fH的速率抽样，则共得到k个抽样值：n1,n2,…,ni,…,nk，每个抽样值都是正态分布的随机变量，其一维概率密度可以写为式中，n－噪声的标准偏差；n2－噪声的方差。222exp21)(nininnf2噪声抽样电压的k维联合概率密度在一个码元时间T内接收的噪声平均功率：或将上式代入联合概率密度式，得到式中，需要注意：f(n)不是时间函数。n是一个k维矢量，可以看作是k维空间中的一个点。f(n)仅决定于该码元期间内噪声的能量。kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),,,(kiiHkiinTfnk1212211kiiHTnTfdttnT120221)(1Tkndttnnf020)(1exp21)(nHnfn02)()()(),,,()(2121kkknfnfnfnnnffnTdttn02)(3接收电压r(t)=s(t)+n(t)的k维联合概率密度函数：当发送码元“0”时：式中，r(t)－接收信号和噪声电压之和；s0(t)－发送码元“0”时的信号波形。当发送码元“1”时：式中，s1(t)－发送码元“1”时的信号波形。dttstrnfTkn20000)()(1exp21)(rdttstrnfTkn20101)()(1exp21)(r48.2数字信号的最佳接收准则“最佳”的含义－指错误概率最小。最佳接收的判决规则接收矢量r看作是k维空间中一点k维空间划分为区域A0和A1判决规则：若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”；若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。总误码率：式中，－发送“1”时,r落在A0的条件概率；－发送“0”时，r落在A1的条件概率。∴A0A1A0A1)0/()0()1/()1(10APPAPPPe0)()1/(10AdfAPrr1)()0/(01AdfAPrr10)()0()()1(01AAedfPdfPPrrrr5区域A0和A1的划分∵∴可以改写为由于P(1)是确定的，故为了使误码率最小，需使上式中的积分值最小。若在此积分空间A1中被积因子在各点上的值都最小，则积分值才最小。这就要求在A1内所有点上被积因子满足条件：或者要求：当P(1)=P(0)时，要求在A1内所有点上：∴当接收矢量r落在A1内时，有f0(r)f1(r)，按照上述判决规则，应该判为发送码元是“1”。1)0/()0/(,1)1/()1/(1010APAPAPAP及10)()0()()1(01AAedfPdfPPrrrr111)]()1()()0([)1()()0(]1)[1()0/()0()]1/(1)[1(100111AAAedfPfPPdfPdfPAPPAPPPrrrrrrr0)()1()()0(10rrfPfP)()()1()0(01rrffPP)()(10rrff6类似地，可以证明，当接收矢量r落在A0内时，有f1(r)f0(r)，按照上述判决规则，应该判为发送码元是“0”。综上所述，最佳接收准则归纳如下：二进制系统：应将接收矢量空间划分为A0和A1两个区域：在区域A0内所有点上：在区域A1内所有点上：当P(1)=P(0)时，则要求在区域A0内所有点上：在区域A1内所有点上：对接收矢量作如下判决：当P(1)=P(0)时若接收矢量r使f1(r)f0(r)，则判发送码元是“0”，若接收矢量r使f0(r)f1(r)，则判发送码元是“1”。)()0()()1(01rrfPfP)()1()()0(10rrfPfP)()(01rrff)()(10rrff78.3确知数字信号的最佳接收机：码元等概率、等能量条件下∵∴可以改写为上式可以简化为即，若则判为“0”若则判为“1”dttstrnfTkn20000)()(1exp21)(rdttstrnfTkn20101)()(1exp21)(r)()(01rrffTTdttstrndttstrn02002010)()(1exp)()(1expTTdttstrdttstr0001()()()(）TTdttstrdttstr0001()()()(）TTdttstrdttstr0001()()()(）8二进制等先验概率最佳接收机原理方框图r(t)S1(t)S0(t)相乘器积分器相乘器积分器比较判决二进制等先验概率最佳接收机原理方框图98.4确知数字信号最佳接收机的误码率二进制等先验概率信号的误码率公式：式中，上式表明，当先验概率相等时，对于给定的噪声功率，误码率仅和两种信号码元波形的差别[s0(t)-s1(t)]的能量有关，而与波形本身无关。dxePcxe22221Tdttstsc0210)]()([2110误码率的计算：首先用相关系数表示上式中的c相关系数的定义：式中，的取值范围：当s0(t)=s1(t)时，＝1，为最大值；当s0(t)=-s1(t)时，＝-1，为最小值。所以，当E0=E1=Eb时，有及10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsTTTTTdttsE0200)(TdttsE0211)(11bTEdttsts010)()()1()]()([210210bTEdttstsc11将代入得出化简后，有式中，－误差函数－补误差函数－相关系数；n0－噪声功率谱密度。)1()]()([210210bTEdttstscdxePcxe22221dxedxePbExcxe)1(2222222121002)1(212)1(121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc12上式是一个非常重要的理论公式，它给出了理论上二进制等能量数字信号误码率的最佳（最小可能）值。在下图中画出了它的曲线。由上式可以看出：误码率和噪声功率无直接关系，而和噪声功率谱密度n0有关；误码率和信号波形无直接关系，而和Eb及相关系数有关；当=1时，误码率最大。这时的误码率Pe=1/2。当=-1时，误码率最小。这时－2PSK信号002)1(212)1(121nEerfcnEerfPbbe0021121nEerfcnEerfPbbe13当=0时，为正交信号。这时，－2FSK信号当E0=0，E1=Eb时－2ASK信号2ASK信号的性能比2FSK信号差3dB，而2FSK信号又比2PSK信号差3dB。由可知，E/n0实际上相当于接收信号噪声功率比PS/Pn002212121nEerfcnEerfPbbeTdttsc020)]([21004214121nEerfcnEerfPbbenssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1(14多进制通信系统：若不同码元的信号正交，且先验概率相等，能量也相等，则有式中，M－进制数；E－M进制码元能量；n0－单边噪声功率谱密度。由于一个M进制码元中含有的比特数为log2M，故每个比特的能量等于每比特的信噪比为当k时，Eb/n0=0.693(-1.6dB)即可无误码。dyedxePyMnEyxe212/12220221211Eb/n0Pe0.693MEEb2log/knEMnEnEb0200log158.5随相数字信号的最佳接收随相信号－相位因信道变化而具有随机性的信号。设：信号－2FSK调制、码元的能量相等、先验概率相等、相位的概率密度服从均匀分布；噪声－带限高斯白噪声。信号表示式：信号随机相位的概率密度：)cos(),()cos(),(11110000tVtstVtsTTbEdttsdtts00121020),(),(其他处,020,2/1)(00f其他处,020,2/1)(11f16相关器平方cos0t相加相关器平方sin0t相关器平方cos1t相加相关器平方sin1t比较r(t)Y0X1Y1X0M02M12判决规则：若接收矢量r使f1(r)f0(r)，则判发送码元是“0”，若接收矢量r使f1(r)f0(r)，则判发送码元是“1”。其中，按照上述判决规则计算得出的误码率公式为按照上述判决规则得出的方框图如右，图中：2000000)/()()(dfffrr2011111)/()()(dfffrr)2/exp(210nEPbe,20200YXM,21211YXMTtdttrX000cos)(TtdttrY000sin)(TtdttrX011cos)(TtdttrY011sin)(178.6起伏数字信号的最佳接收起伏信号－包络随机起伏、相位随机变化的信号设：信号－2FSK调制、等能量、等先验概率、相位的概率密度服从均匀分布；噪声－带限高斯白噪声信号表示式：式中，V0和V1服从同一瑞利分布：0和1的概率密度服从均匀分布：Vi的均方值：)cos(),,()cos(),,(111111000000tVVtstVVts2,1,0,2exp)(222iVVVVfisisii2,1,20,2/1)(ifii222siEV18判决规则：同前若接收矢量r使f1(r)f0(r)，则判发送码元是“0”，若接收矢量r使f1(r)f0(r)，则判发送码元是“1”。现在误码率计算结果：衰落对2FSK信号误码率的影响：由右图可见，当误码率等于10-2时，衰落使性能下降约10dB；当误码率等于10-3时，下降约20dB。即，在有衰落时，性能随误码率下降而迅速变坏。20000000000),/()()()(ddVVffVffrr20111111011),/()()()(ddVVffVffrr)/(210nEPe19rerfc210/21nEerfcb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEb4/21rerfc04/21nEerfcb实际接收机的Pe最佳接收机的Pe相干2PSK信号－式(6-4-13)－式(8.4-21)相干2FSK信号－式(6-3-36)－式(8.4-22)非相干2FSK信号－式(6-3-28)－式(8.5-27)相干2ASK信号－式(6-2-47)－式(8.4-24)8.7实际接收机和最佳接收机的性能比较208.8数字信号的匹配滤波接收原理8.8.1数字信号的匹配滤波接收法匹配滤波－用线性滤波器对接收信号滤波，使抽样时刻的输出信噪比最大。设：H(f)－接收滤波器的传输函数；h(t)－接收滤波器的冲激响应；s(t)－接收信号；S(f)－