2-4 方向导数与梯度(2)

第七节方向导数与梯度一、方向导数的定义三、梯度的概念四、小结二、方向导数与连续、偏导数、可微之间的关系一、方向导数的定义．引射线内有定义，自点的某一邻域在点定义：设函数lPPUyxPyxfz)(),(),(,的转角为轴正向到射线设lx||PP记,)()(22yx),,(),(yxfyyxxfz当沿着趋于时，PPl),(),(limyxfyyxxf0如果)(),(pUPlyyxxP上的另一点且为（一）方向导数的定义.),(),(limyxfyyxxflf0的方向导数．向沿方数在点存在，则称这极限为函lP记为偏导数存在，则沿着x轴正向},{011e、y轴正向},{102e的方向导数分别为yxff,；y推论：如果函数在点对和),(yxfPx的沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是yxff,.（二）方向导数与可为微、可导、连续之间的关系定理如果函数),(yxfz在点),(yxP是可微分的，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有sincosyfxflf其中为轴到方向L的转角．x证明由于函数可微，则函数值增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf两边同除以,得到cossin),(),(yxfyyxxf故有方向导数),(),(limyxfyyxxf0lf)(oyyfxxf.sincosyfxf此定理不仅告诉了我们一个函数在某点可微，则该函数在此点沿任意方向的方向导数都存在，而且还告诉了我们求方向导数的方法。例1求函数yxez2在点),(01P处沿从点),(01P到点),(12Q的方向的方向导数.解故x轴到方向l的转角4.;),(),(101201yexz,),(),(2201201yxeyz所求方向导数)sin()cos(424lz.22这里方向l即为},{11PQ,1、方向导数与偏导数的关系Pyxfz在),(点沿任意方向的方向导数都存在，但推不出偏导数存在。反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的方向导数存在。方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限例在(0,0)点任意方向的方向导数都存在,但在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。22yxz证明22022()()0lim1()()xyxy=)0,0(lz)0,0()0,0(lim0fyxf从而在(0,0)点偏导数不存在，且不可微。0limxxx=不存在。220()00limxxx=xfxfx)0,0()0,0(lim0而例)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在(0,0)点偏导数存在,但沿xy的方向导数不存在。证明22022()()lim()()xyxyxy=)0,0()0,0(lim0fyxf22022()()lim()()xyxyxyxy而0221lim2()()xxx所以在(0,0)点沿的方向导数不存在。xy在(0,0)点偏导数存在易知。函数在某点连续推不出方向导数存在，反之亦然。2、函数连续与方向导数存在的关系222222221sin,0(,)0,0xyxyxyfxyxy例在(0,0)点连续但方向导数不存在。证明2202201limsin0(0,0)xyxyfxy由可知在(0,0)点连续。由不存在可知在(0,0)点方向导数不存在。22220221()()sin()()lim()()xyxyxy=0221limsin()()xy)0,0()0,0(lim0fyxf例21,0(,)0,yxxfxy，其它函数在（0，0）点沿任意方向的方向导数都存在，但不连续。证明02200lim0()()xy=)0,0()0,0(lim0fyxf)0,0(lz0lim(,)1(0,0)0xyxfxyf2（）由可知(,)00fxy在（，）不连续。2（沿y=x）可微方向导数（任意方向）连续偏导数综上可得下图：方向导数与可微、可导、连续之间的关系例2求函数22yxyxyxf),(在点(1,1)沿与x轴方向夹角为的方向射线l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有（1）最大值；2）最小值；（3）等于零？解sin),(cos),(),(111111yxfflf由方向导数的计算公式知,sin)(cos)(),(),(111122xyyxsincos),sin(42故（1）当4时，方向导数达到最大值2;（2）当45时，方向导数达到最小值2;（3）当43和47时，方向导数等于0.当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都存在，且有.coscoscoszfyfxflf设方向L的方向角为,,.,cosx,cosy,cosz方向导数的概念可以推广到空间。定义设函数),(yxfz在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP),(，都可定出一个向量jyfixf，这向量称为函数),(yxfz在点),(yxP的梯度，记为二、梯度的概念（一）定义(,)ffgradfxyijxysincosyfxflf}sin,{cos},{yfxfeyxgradf),(,cos|),(|yxgradf其中)),((,eyxgradf当1)),,(cos(eyxgradf时，lf有最大值.设jiesincos是方向l上的单位向量，由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为22yfxfyxgradf|),(|.结论当xf不为零时，x轴到梯度的转角的正切为xfyftan．gradfgradfP),(yxfz在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得cz,),(:czyxfzL曲线L在xoy面上投影曲线为：,0),(:1zyxfcL称1L为等高线。等高线的画法等高线上任意一点),(yxP处法线的斜率为xyffdxdy1的方向导数．这个法线方向而梯度的模等于函数在高的等高线，低的等高线指向数值较同，且从数较点的法线的一个方向相在这的等高线方向与点的梯度的在点函数cyxfPyxPyxfz),(),(),(三元函数),,(zyxfu在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),,(，都可定义一个向量(梯度).),,(kzfjyfixfzyxgradf梯度的概念可以推广到三元函数类似地,设曲面czyxf),,(为函数),,(zyxfu的等量面，此函数在点),,(zyxP的梯度的方向与过点P的等量面czyxf),,(在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4求函数yxzyxu22232在点)2,1,1(处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu),,(,)()(kzjyix61412故.),,(kjigradu1233211在),,(041210P处梯度为0.1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）三、小结.),(最快的方向在这点增长梯度的方向就是函数yxf讨论函数22),(yxyxfz在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题xfxfxzx),(),(lim),(000000.||limxxx0同理：)0,0(yzyyy||lim0故两个偏导数均不存在.思考题解答沿任意方向},,{zyxl的方向导数,),(),(lim),(00000fyxflz122220)()()()(limyxyx故沿任意方向的方向导数均存在且相等.一、填空题:1、函数22yxz在点),(21处沿从点),(21到点),(322的方向的方向导数为___.2、设xyzyxzyxf22232),,(zyx623,则),,(000gradf_________.3、已知场,),,(222222czbyaxzyxu沿则u场的梯度方向的方向导数是_______.练习题4、称向量场a为有势场,是指向量a与某个函数),,(zyxu的梯度有关系__________.二、求函数)(22221byaxz在点),(22ba处沿曲线12222byax在这点的内法线方向的方向导数.三、设vu,都是zyx,,的函数,vu,的各偏导数都存在且连续,证明:ugradvvgraduuvgrad)(四、求222222czbyaxu在点),,(000zyxM处沿点的向径0r的方向导数,问cba,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?一、1、321；2、kji623；3、graduczbyax222222222)()()(；4、gradua.二、)(2221baab.四、cbazyxzyxuruM;),,(20202000002.练习题答案例3设n是曲面632222zyx在点),,(111P处的指向外侧的法向量，求函数2122861)(yxzu在此处沿方向n的方向导数.解令,),,(632222zyxzyxF,44PPxxF,66PPyyF,22PPzzF故zyxFFFn,,,,,264,142264222n方向余弦为,cos142,cos143.cos141PPyxzxxu22866;146PPyxzyyu22868;148PPzyxzu22286.14PPzuyuxunu)coscoscos(.711故