群论第二章A

第二章群的基本知识群论是研究系统对称性的数学工具。aABCD定义：在元素集合G（A,B,C,…）中，定义一种结合法则（群乘）（combination,composition），满足：（1）封闭性：A∈G，B∈G，则AB∈G（2）结合律：A,B,C∈G,则(AB)C=A(BC)（3）集合中有单位元素E∈G，使得对于任何A∈G，恒有EA=A（4）对于任何的A∈G，均存在逆元A-1∈G，使得A-1A=E§2.1群的概念2.1.1群的定义例如：构成一个群ii,,1,1可以证明：AE=A；AA-1=E证明：1）（若EA=A，必有AE=A）∵若∴∴，∴BAAEABAEA111AAABAAAABAEGA1111111111EBEABA证明：2）左逆=右逆，假定：设∴∴EAA1BAAAABAAA11111BAAAABAAGA1111111111BEBE证明：3）∵，且∴AA11EAA1EAA111111111AAAAAAA证明：4）群中的单位元素是唯一的。假定有两个单位元E1和E2，由，得or1221EEEE21EE21111EAAEAAEA证明：5）（逆元）且（单位元）∴EE1EEEEE1111EEE1EE111)(ABAB111111111111)]()[()()()()()(ABABABABABBAABAEAABEABAB证明：6）试讨论以下集合是否构成群：1全体整数对于数的加法2全体实数对于数的乘法3模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法4么正矩阵的全体对于矩阵的乘法5三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘nn2.1.2群的种类定义：有限群中元素的数目称为群的阶（order）有限群（finitegroup），群元个数有限离散群（discretegroup）可数连续群（continuousgroup）不可数群无限群（infinitegroup），群元个数无限多定义：若群元素之间的结合满足交换律：，则该群称为Abel群，或对易群（commutationGroup）。BAAB1．重排定理（rearrangementtheorem）（它对无限群不成立）设群的阶为h.若，则（Ai为G中任意元素）2.1.3有限群的性质hkAAAAG,,,,,21GAiGAAAAAAAAGAhikiiii,,21GAAAAAAAAGAihikiii,,,21即：AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素，而共有h个群元，不能超过G的元素，则AiG就是G。证明：(1)必出现(2)x不能出现两次若，得：∴GxAAririikiiArikiAAAAAAAAAAi111rkAAGxAAkiGxAAkiGAGAki,GxAAki例：群符合四条群公理。用其中任意一个元素乘整个群，所得到的仍然为原来的群，只是次序有变。ii,,1,1r为满足此式的最小整数2．群元素的级有限群G，A∈G由于有限，∴必有，即∴，r称为该元素的级级和阶是两个概念，但有时值可相等，如中就是如此132,,,,,,rrmAAAAAAAAAAr1AAArEArii,,1,1ii,定义：若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到（不一定要求每一个元素，只要找到一个便可），则该群称为循环群（cyclicgroup）。Ai——该群的生成元定义：由群G的一个最小的群元的集合（如Ai,Aj,…）及乘法关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元（generator）。群乘关系称作生成关系。2.1.4群的乘法表AEBCCEACBBBCEAACBAEECBAEGiiCiiiBiiiAiiECBAEGii111111111111约定：表中元素是竖元素乘横元素，即DCDCG（右因子）（左因子）例：矩阵组,21232321,1001,1001BAE21232321,21232321,21232321FDC按矩阵乘法构成一个群其乘法表为：DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG6DBA21232321212323211001·EFD10012123232121232321·DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG62.1.5群的实例1）一阶群：E，满足，单位元素EE12）二阶群：，如所有二阶群的构造均一样如宇称变换；全同粒子交换（费米）生成元：A；{A,A2}AE,AA1EAAAEEAEV2111111112V3）三阶群：BAE,,一阶、二阶、三阶群均是Abel群，也是循环群。AEBBEBAABAEEBAEG∴三阶群唯一可能的乘法表为：生成元：A；{A,A2,A3}B；{B,B2,B3}唯一可能A2=B；同理B2=AA2=A？不行，否则A=E又A2=E？不行，否则A=A-1=B唯一可能AB=E，即A=B-1,B=A-1（互逆）AB=B？也不行，否则A=E讨论：AB=A？不行，否则B=E是一个两阶群了。例：的三个根1，组成三阶群（一般乘法）013x231i例；对称操作（即绕一固定轴转）也构成三阶群3C2,34,324）四阶群:CBAE,,,——Abel群(四阶循环群）4C生成元：A；{A,A2,A3,A4}C；{C,C2,C3,C4}BAECCAECBBECBAACBAEECBAEC4ⅰ）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C。乘法表示：23,2,,2,绕某固定轴转iiCCCE,1,,1,,,34244CCBBAA111,,ⅱ）A,B,C均为自逆，（注意，不可能有两个自逆）乘法表为：——Klein四阶群EABCCAECBBBCEAACBAEECBAEV证明：（∵若或，则或）同理V——Abel群（四阶反演群）ECBA222CABBAAABBABEAEBACBBCBCAAC,生成元：A,B；{A,A2,B,AB}5）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成连续群3RnnP321321nS,21,211nPnnnPE21210原来的位置新位置6）置换群（permutationgroup）意为：1换成1，2换成2，…，n换成n：n个物体所有这种可能置换的集合称为置换群这种群对基本粒子的交换对称性有用。例：：共3！个群元素3S123321,312321,321321BAE132321,213321,231321FDCDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3注意：置换是先进行右边的置换，再进行左边置换，即从右到左。ACD312321213321231321DAB213321123321312321DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3例如：∴置换不满足交换律，是非Abel群坐标系上取固定的三点A',B'和C'，变换前正三角形三顶点A1,B1和C1分别与A',B'和C'重合。经变换，A1,B1和C1的位置发生变化，但总是分别和A',B'和C'中的某一点重合。7）正三角形对称群共有六个元素：恒等变换E，绕三角形中0点顺时针转2/3和4/3角的变换D和F，三角形分别对三条中线的反射变换A，B，C。3CyxCABA'(0,1))21,23(C)21,23(BC3v的乘法表和S3一样例如：等可以证明：C3v是非Abel群FACDAB,yxCABA'(0,1))21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3i,18）四元数群（guatermon）－－8阶群对复数：，有两个单位，——二元素。定义四元素：且规定：biadkcjbiaqjikkiikjjkkjiijkji,,111,1122222§2.2子群（subgroup），陪集（coset），共厄元素（conjugate）和类（class）2.2.1子群定义：若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成群，——子群。任何群的单位元素构成子群G的全体也构成G的子群→非真子群（平庸子群）真子群的条件:1存在单位元2任意元素的逆元素也在这一子集内3任意两元素的乘积也在这一子集内例：C3v群中，中构成真子群。323323,,,,,CCCCE323,,CCE沿A轴反演顺时针赚120º,E3,CE23,CEyxCABA'(0,1))21,23(C)21,23(B例：实数（加法），单位元为：0有理数（加法），单位元为：0↑子群整数（加法），单位元为：0↑子群子群链偶数（加法），单位元为：0↑子群偶整有实2.2.2陪集定义：群中G有一个子群g{H1,H2,…,Hh}，有一群元xG，集合xg={xH1,xH2,…,xHh}称为g的左陪集（leftcoset），gx={H1x,H2x,…,Hhx}称为的右陪集（rightcoset）.注：如果xg，则xg=gx=g为子群本身。陪集可能是G的一个子群，也可能不够成群。gx例：C3v群中，子群{E,D,F}只有一个陪集{A,B,C}子群{E,A}对Ｂ的右陪集为{B,D}，左陪集为{B,F}对C的右陪集为{C,F}，左陪集为{C,D}yxCABA'(0,1))21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3定理:(1)子群g的两个左（右）陪集，或者包含相同的一组元素，或者没有共同元素。证：假如：，则有（作）∴∵，∴，∴即hixHxHxHxHxg,,,,,21hiyHyHyHyHyg,,,,,21jiyHxH11jHx1111jjjiHyHxHxHxyxHHji11gHHji1gyx1gygx1xgyg(2)若x不是g的一个元，那么gx(xg)不是一个群。（3）G中的每一个元必然落在子群或某一个左（右）陪集中。(4)若子群g的阶为h，G的阶为H，则每一个左（右）陪集包含h个不同的元，即在集合gx(xg)的h个元中，没有相同的元存在。(5)若y是gx(xg)的元，那么，gy(yg)与gx(xg)是相同的。Lagrange定理：子群g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。证：若g遍举群G的全部元素，则h=H，故H/h=1；若不能遍举,作A1g，且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素，则H/h=2。若不能，作A2g，且它与g,A1g无共同元素，若g+A1g