第四章 贝塞尔函数

深圳大学电子科学与技术学院第四章：贝塞尔函数深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院•几个微分方程的引入•伽马函数的基本知识•贝塞尔方程的求解•贝塞尔函数的基本性质•贝塞尔函数应用举例本章提要:参考了孙秀泉教授的课件深圳大学电子科学与技术学院贝塞尔函数是贝塞尔方程的解。除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19世纪德国天文学家F.W.Bessel的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。深圳大学电子科学与技术学院德国天文学家，数学家，天体测量学的奠基人。1784年7月22日生于明登，1846年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到布莱梅一家商行学徒，业余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学，还编制基本星表，测定恒星视差，预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。贝塞尔重新订正了《布拉德莱星表》，并加上了岁差和章动以及光行差的改正;还编制了包括比九等星更亮的75000多颗恒星的基本星表，后来由他的继承人阿格兰德扩充成著名的《波恩巡天星表》。1837年，贝塞尔发现天鹅座61正在非常缓慢地改变位置，第二年，他宣布这颗星的视差是0.31弧秒，这是世界上最早被测定的恒星视差之一。深圳大学电子科学与技术学院三维波动方程：22222222222azyxat三维热传导方程：)()(),(tTrutr222222222azyxat分离变量：（亥姆霍兹方程）022uku一、几个微分方程的引入对u(r)，得到：深圳大学电子科学与技术学院xyzrcossinsincossinrzryrx球坐标下：022uku0sin1sinsin1122222222ukururrurrr深圳大学电子科学与技术学院，代入原方程设)()()(),,(rRru0)()(''2m0)sin(sinsin1222mdddd0)(2222RrkdrdRrdrd球贝塞尔方程022RdrdRrdrd欧拉方程k=0k=0深圳大学电子科学与技术学院0)sin(sinsin1222mdddd)()(cosxyx0)1()1(2222yxmdxdyxdxd连带勒让德方程：勒让德方程：0)1(22ydxdyxdxdm=0深圳大学电子科学与技术学院xyzrzzyxsincos柱坐标下：022uku01)(1222222ukzuuu深圳大学电子科学与技术学院)()()(),,(zZRzu0)()(''2m0)(2222222RmkddRdRd0)()(''2zZzZ贝塞尔方程)()()(22Rxykx022222ymxdxdyxdxydx深圳大学电子科学与技术学院)(,0)()()(bxayxyxqxdydxkxdd取：1)(0)(1)(xxqxk、、022ydxyd亥姆霍兹方程xxxmxqxxk)()()(2、、02xyyxmdxdyxdxd参数形式的贝塞尔方程取：=102xyyxmdxdyxdxdSturm-Liouville（施图姆-刘维尔）型方程贝塞尔方程101)(2、、qxxk0)1(2ydxdyxdxd勒让德方程取：另一途径：深圳大学电子科学与技术学院)0()(01xdttexxt定义：基本性质：)()1(xxx））xxdttexetedtdttexxttxtxxt()(1(0100011证明：!)1(nn1)1(00ttedte1)1(1)2(!2)2(2)3(!3)3(3)4(二、伽马函数的基本知识深圳大学电子科学与技术学院21求证：dttexxt01)(令t=u2dueuduedtteuut020212021222)()(21dxdyedvedueyxvu0)(0002222242221rdrddxdyyxr222derdrdedxdyerrryx2000200)(0222222144421其它结论!2)!2(212nnnn!2)!12(12112nnnn深圳大学电子科学与技术学院)0(022222xyxdxdyxdxydx）（变系数的二阶线性常微分方程，其解称为贝塞尔函数阶贝塞尔方程0'1''222yxxyxy不能在x=0附近展开成幂级数，因为x=0是它的正则奇点对于变系数方程y+p(x)y+q(x)y=0，如果xp(x)、x2q(x)都能在x=0附近展开成幂级数，则在这个邻域内方程有广义幂级数解)0(00CxCykkckCk是展开系数，c是待定常数三、贝塞尔方程的求解深圳大学电子科学与技术学院02210)()(kkckkkcxCxCxCxCCxxy01)()(kkckxkcCxy02)()1()(kkckxkckcCxy代入贝塞尔方程0)()()()1(02201022kkckkkckkkckxCvxxkcCxxkckcCx0)()()1(0200SxCvxkcCxkckcCkkckkkckkkck)2(2202kmxCxCSmmcmkkck022222yvxdxdyxdxydx）（深圳大学电子科学与技术学院0}])[({])1[()(])()()1([])1[()()()1()()1()1()1()()()1(22221221220222122122022221120221102110220200kkckkcckkckkkkcckkckkkckcckkckcckkckccmmcmkkckkkckkkckxCvkcCxvcCxvcCxCCvkcCkckcCxvcCxvcCxCxCvxCvxCvxkcCxcCcxCxkckcCxccCcxcCxCxCvxkcCxkckcC要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零深圳大学电子科学与技术学院)0(0)()1(022kCvc)1(0])1[()2(122kCvc)2(0])[()3(222kCCvkckk0)(22vcvc将c=v代入(2)，得C1=0先考虑c=v情况，代入(3)，得)2()2(2kvkkCCkk0)23(3)23(31233vCvCC07531CCCC(4)深圳大学电子科学与技术学院)1(2)22(220222vCvCC)2)(1(!22)24(4)24(4402244vvCvCvCC)3)(2)(1(!32)26(6)26(6604266vvvCvCvCC)()3)(2)(1(!2)1(202vmvvvmCCmmm一个特解为02200)()3)(2)(1(!2)1(mvmmmkkckxvmvvvmCxCyC0为任意常数，通常取)1(210vCv深圳大学电子科学与技术学院)1()1()1)(2()1)((vmvvvvmvm0222(2)(2)(1)2!(1)(2)(3)(1)()11(1)2(1)2!(1)(2)(3)(1)()(1)2!(1)(1)(2)(3)(1)()(1)2!(1)mmmmvmmmvmmvCCmvvvmvmvvmvvvmvmvmvvvvmvmvmmvvmmmvxvmmxJ202)1(!)1()(v阶第一类贝塞尔函数深圳大学电子科学与技术学院对于任意x(-,+)，0)1)(1(1lim2)()(lim21vmmxxuxummmmvmmmmmvxvmmxuxJy20012)1(!)1()()(因此级数y1的收敛区间为(-,+)在x=0时，)0(0)0()0(1)0(vJvJvv令深圳大学电子科学与技术学院再考虑c=-v情况，得到vmmmvxvmmxJy2022)1(!)1()(贝塞尔方程的通解为：)()(xBJxAJyvv其中v为实数（不是整数），A、B为待定系数称为第一类贝塞尔函数和)()(xJxJvv深圳大学电子科学与技术学院，故有为正整数或零时，当)!()1(nmnmv),2,1,0(2!)(!)1()(20nxnmmxJnmmmn20(1)()(0,1,2,)!(1)2mnmnmxJxnmmn整数阶贝塞尔函数)()1()(xJxJnnn经过证明，有是线性相关的和)()(xJxJnnvxJvxJxYvvvsin)(cos)()(定义其中v不是整数sin)(cos)(lim)(xJxJxYv当v是整数时深圳大学电子科学与技术学院Yv称为第二类v阶贝塞尔函数（也称诺伊曼或牛曼函数），与Jv(x)是线性无关的v阶贝塞尔方程的通解：)()(xBYxAJyvv如果v不是整数，其通解还可表示为)()(xBJxAJyvv深圳大学电子科学与技术学院第二类贝塞尔函数的图象贝塞尔函数的图象贝塞尔、牛曼函数的图象深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院深圳大学电子科学与技术学院求方程例0)()()()(2222xynxxyxxyx。的通解，这里参数0，则原方程可以变成作变换解xz0)(22222ynzdzdyzdzydz0)(22222ynxxdydxxdydx为阶贝塞尔方程，其通解的看出它是关于nz)()(zYBzJAynn所以原方程的通解为)()()(xYBxJAxynn为任意实数。为任意常数，、其中，nBA从而得到其通解。可以化为贝塞尔方程，程，通过适当的变换，注：有许多二阶微分方深圳大学电子科学与技术学院四、贝塞尔函