1.3解直角三角形讲解

三角函数定义的邻边的对边tan正切函数：斜边的邻边cos余弦函数：斜边的对边sin正弦函数：AAAAAAAα0°30°45°60°90°sinαcosαtanα212223232221333101100不存在特殊角的三角函数值互余两角三角函数关系:sin(900-A)=cosAtanAtanB=1cos(900-A)=sinA同角三角函数关系:sin2A+cos2A=1AAAcossintan引例：山坡上种树，要求株距(相临两树间的水平距离)是5.5米，测的斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米((sin240≈0.4067,cos240≈0.9135,tan240≈0.4452,精确到0.1米)精确到0.1米)24º5.5米ABC5.5米解：在Rt△ABC中，∠C=90°24º5.5米ABC≈6.0(米)答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米。5.5AC,ABACcosA0cos245.5cosAACAB引例：山坡上种树，要求株距(相临两树间的水平距离)是5.5米，测的斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米((sin240≈0.4067,cos240≈0.9135,tan240≈0.4452,精确到0.1米)在上述例题中，我们利用直角三角形中的已知边、角来求出另外一些的边角.像这样，********************************在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.合作探究1、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，AC=3，求边BC的长。你能求出∠A的度数么？2、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=500，AB=3，求AC的长。解直角三角形若Rt△ABC中,∠C=Rt∠，1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系∠A+∠B=900a2+b2=c2CAB，，batanAcbcosA,casinA.abtanBcacosB,cbsinB，例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，求∠B和a，b(sin500≈0.7660,cos500≈0.6428,tan500≈1.1917,边长精确到0.1)3BCabA解：Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，∴∠B=900-∠A=400∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3，,3ABABasinAABbcosA∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9如图,在Rt△ABC中,∠C=90°(1)若∠A=30°，BC=2，求AC、AB、∠B.ACB(2)若BC=2，AB=4，求AC、∠A、∠B.练一练解：(1)Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，∴∠B=900-∠A=6002，,2BCABBCsinA∴AB=BC÷sinA=2÷sin300=4ACBCtanA∴AC=BC÷tanA=2÷tan300=332如图,在Rt△ABC中,∠C=90°(1)若∠A=30°，BC=2，求AC、AB、∠B.ACB(2)若BC=2，AB=4，求AC、∠A、∠B.练一练解：(2)Rt△ABC中，∠C=900，BC=2,AB=4则由勾股定理,得2.324-16ACABBCsinA.2142∴∠A=300.∴∠B=900-300=600在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长近似数的中间取值必须比精确度多取一位，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面几种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个锐角;★(3)已知三边。特别强调：（必须有一个条件是边）已知解直角三角形a,btanA＝ab∠A,ac＝asinA∠A,bb＝atanAc＝bcosAa＝b×tanAc＝a2+b2∠A,Ca＝c×sinAb＝c×cosA•解直角三角形中的边角关系CBA已知屋面的宽度l和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度a和倾角a吗？hlα变化：已知平顶屋面的宽度l和坡顶的设计倾角α(如图)。你能求出斜面钢条a的长度和设计高度h吗？a例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度l为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角a。(长度精确到0.1米，角度精确到1°)lαha本题是已知两边.解:在Rt△ABD中,a＝()2+(h)2l2＝52+3.52≈6.1(m).hlaABCDα∵tanα＝＝0.7,3.55∴α≈350.答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计,已知平顶屋面的宽度L为10m,坡屋顶的设计高度h为3.5m,能求斜面钢条a的长度和坡角a.(长度精确到0.1米,角度精确到10)如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.(精确到1米)本题是已知一边,一锐角.应用练习解在Rt△ABC中∵∠CAB＝900－∠DAC＝500，cos50ACAB3111cos502000cos50ABAC(米).∴BC＝AB•tan∠CAB=2000×tan500≈2384(米).ABBC∴tan∠CAB=答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.221.已知,在△ABC中,∠B=450,AC=4，BC=,求sinA和AB的值。ACB42245°D解：过点C作CD⊥AB于点D.则∠BDC＝∠ADC＝900BCBD∴cosB=∵∠B=450,BC＝22221.已知,在△ABC中,∠B=450,AC=4，BC=,求sinA和AB的值。2、已知，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5㎝。求AB的长。ACB42245°BAC4560°45°已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（或设计倾角a）（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角a（或高度h）吗？hLa例题：如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:26＋10＝36（米）.答:大树在折断之前高为36米.262410222、在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900，根据下列条件解直角三角形(边长精确到0.1,角度精确到1度)CAB（3）a=5，c=7练一练（4）a=20，sinＡ=21树高的问题化归为直角三角形有关问题，本题的数学模型是：10ABC24利用现有的条件能否求出两个锐角的度数在上述例题中，我们都是利用直角三角形中的已知边、角来求出另外一些的边角.像这样，********************************在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，求∠B和a，b（边长保留2个有效数字）3BCabA2、在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900，根据下列条件解直角三角形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)CAB（1）c=10，∠A=30°（2）b=4，∠B=72°（3）a=5，c=7练一练（4）a=20，sinＡ=21abc课内练习：p16例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，能求斜面钢条a的长度和坡角α。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）Lαha在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角特别强调：（必须有一个条件是边）解直角三角形1.两锐角之间的关系:2.三边之间的关系:3.边角之间的关系∠A+∠B=900a2+b2=c2CAB的邻边的对边正切函数：斜边的邻边余弦函数：斜边的对边正弦函数：AAAAAAAtancossinabc在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，边长保留四个有效数字，角度精确到1′.解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角特别强调：（必须有一个条件是边）如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）本题是已知一边,一锐角.应用练习21.已知，在△ABC中，∠B=45°，AC=4，BC=2，求sinA和AB的值。2、已知，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，BC=5㎝。求AB的长。ACB42245°BAC4560°45°练一练1、在Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B和∠C的对边，∠C=Rt∠，根据下列条件解直角三角形（边长保留2个有效数字，角度精确到1°）(1)c=7,∠A=36°(2)b=10,∠B=60°(3)a=5,c=7(4)b=,cosA=32023