1.3.2 球的体积和表面积

1.3.2球的体积和表面积1.3空间几何体的体积与表面积问题提出1.柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是什么？2.球是一个旋转体，它也有表面积和体积，怎样求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容.知识探究（一）:球的体积思考1:从球的结构特征分析，球的大小由哪个量所确定？思考2:底面半径和高都为R的圆柱和圆锥的体积分别是什么？3VR柱313VR锥思考3:如图，对一个半径为R的半球，其体积与上述圆柱和圆锥的体积有何大小关系？思考4:根据上述圆柱、圆锥的体积，你猜想半球的体积是什么？323VR半球思考5:由上述猜想可知，半径为R的球的体积，这是一个正确的结论，你能提出一些证明思路吗？343VR1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.8倍332例1.钢球直径是5cm,求它的体积.333445125()3326VRcm知识探究（二）:球的表面积思考1:半径为r的圆面积公式是什么？它是怎样得出来的？2rS圆a1a2a3ana4思考2:把球面任意分割成n个“小球面片”，它们的面积之和等于什么？o思考3:以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”近似地看成棱锥，那么这些小棱锥的底面积和高近似地等于什么？它们的体积之和近似地等于什么？oo思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公式吗？24SR思考5:经过球心的截面圆面积是什么？它与球的表面积有什么关系？球的表面积等于球的大圆面积的4倍(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。241:2231:4理论迁移例2如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.23例3已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体的棱长为a，求球O的表面积和体积.oAC′111122222:223(2)(2),243RtBDDBDRBDaRaaRaSRa中，得：变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。关键：找正方体的棱长与球半径之间的关系22a2a例4一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为cm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.334547.9[()]142323x3351423()11.327.94x由计算器算得:2.24x24.5x2x例5、如图表示一个用鲜花作成的花柱，它的下面是一个直径为1m、高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体。如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花（π取3.1)？1635作业:P28练习:A组：6B组：1，2，3例5已知A、B、C为球面上三点，AC=BC=6，AB=4，球心O与△ABC的外心M的距离等于球半径的一半，求这个球的表面积和体积.ABCOM36,54,2762RSVAOirO.niinRRri,2,1,)]1([22,21RRr,)(222nRRr1、球的体积B2C2BiCiAO,)2(223nRRr已知球的半径为RnininRnRrVii,2,1],)1(1[232问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.niinRRri,,2,1,)]1([22nVVVV21半球])1(21[22223nnnnR]6)12()1(1[23nnnnnnR]6)12)(1(11[23nnnR球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球(即球体):球面所围成的几何体。它包括球面和球面所包围的空间。半径是R的球的体积：推导方法：334RV分割求近似和化为准确和球的表面积第一步：分割O球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS...321，，则球的表面积：nSSSSS...321则球的体积为：设“小锥体”的体积为：iViVnVVVVV...321iSO2、球的表面积O第二步：求近似和Oih由第一步得：nVVVVV...321nnhShShShSV31313131332211...iiihSV31iSiV第三步：转化为球的表面积RSVii31如果网格分的越细,则:RSRSRSRSVni3131313132...RSSSSSRni313132)...(①由①②得:334RV②球的体积:24πRSiSiVih的值就趋向于球的半径RRihiSOiV“小锥体”就越接近小棱锥。