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4.4.3梁的内力方程及内力图剪力图和弯矩图•若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x•Q=Q(x)•M=M(x)•以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律，把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置，用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。剪力图和弯矩图(1)求支座反力以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座(2)将梁分段以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分(3)各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。绘制剪力图和弯矩图的步骤(4)先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。【例9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁【解】(1)列剪力方程和弯矩方程将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研Q(x)=P(0xl)M(x)=-Px(0≤xl)(2)画剪力图和弯矩图剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)x=0，MA=0x=l，MB左=-Pl弯矩图如图9.14(c)所示从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪力，其值为｜Qmax｜=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为｜Mmax｜=Pl。【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和【解】(1)求支座反力RA=RB=ql/2(2)坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l)M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2(0≤x≤l)(3)由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a)x=0，QA右=ql/2x=l，QB左=-ql/2剪力图如图9.15(b)由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)x=0，MA=0x=l/2，MC=ql2/8x=l，MB=0弯矩图如图9.15(c)所示从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。【例9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1)∑mB(F)=0，-RAl+Pb=0RA=Pb/l∑Fy=0，RA+RB-P=0RB=Pa/l(2)列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A(4)画弯矩图从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b)x=0，MA=0x=a，MC=Pab/l从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由式(d)x=a，MC=Pab/lx=l，MB=0从所作的内力图知，若ab，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上，其值｜Mmax｜=Pab/l如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2｜Qmax｜=P/2｜Mmax｜=Pl/4【例9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯【解】(1)求支座反力∑mB(F)=0，RAl-m=0RA=m/l∑mA(F)=0，-m-RBl=0RB=-m/l(2)列剪力方程和弯矩方程梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐ACQ(x)=RA=m/l(0x≤a)M(x)=RAx=m/lx(0≤xa)CBQ(x)=RA=m/l(a≤xl)M(x)=RAx-m=m/lx-m(ax≤l)(3)画剪力图从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示【例9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】(1)求支座反力∑mB(F)=0，q×6a×a-RA×4a=0RA=1.5qa∑mA(F)=0，RB×4a-q×6a×3a=0RB=4.5qa(2)列剪力方程和弯矩方程梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BCAB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0x14a)M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12(0≤x1≤4a)BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方程和弯矩方程为Q(x2)=qx2(0≤x22a)M(x2)=-qx22/2(0≤x2≤2a)(3)画剪力图从式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函数，剪力图是一条斜直线，由式(a)x1=4a，QB左=-2.5qa从式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函数，剪力图也是一条斜直线，由式(c)x2=0，QC=0x2=2a，QB右=2qa画出剪力图如图9.18(b)所示(4)从式(b)可知，AB段的弯矩M(x1)是x1的二次函数，弯矩图是一条二次抛物线，至少需要确定A截面、B截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值，才能画出弯矩图。由式(b)x1=0，MA=0x1=4a，MB=-2qa2为计算AB段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例9.5知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令Q(x1)=01.5qa-qx1=0得x1=1.5a即距离原点A为1.5a处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将x1=1.5a代入式(b)Mx1=1.5a=1.5qa×1.5a-q/2(1.5a)2=1.125qa2从式(d)可知，BC段的弯矩M(x2)是x2的二次函数，弯矩图也是一条二次抛物线，由式(d)x2=0，MC=0x2=2a，MB=-2qa2画出弯矩图如图9.18(c)所示图9.14图9.14图9.15图9.15图9.16图9.16图9.17图9.17图9.17图9.18图9.18图9.18