17种排列组合方法

解排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事；2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.3.正确区分“至多”与“至少”，含与不含等问题※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，容易产生重复和遗漏，应仔细分析重在哪里漏在何处，因此必须掌握一些常用的解题方法.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有___然后排首位共有___最后排其它位置共有___13C13C14C14C34A34A由分步计数原理得=28813C14C34A二.合理分类与分步策略例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,3人为全能演员.以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究.只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理共有______________________种.2233CC112534CCC2255CC2233CC112534CCC2255CC++三.排列组合混合问题先选后排策略例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法?解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有___种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____种方法.25C44A练习：从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学，分别担任五项不同的工作，一共有多少种不同的分配方法？四.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法55A22A22A=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排.第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法.46A五.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，55A由分步计数原理,节目的不同顺序共有种55A46A相相独独独六.固定顺序问题用除法策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少不同的排法?1除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是：7733AA2插入法：先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有4*5*6*7方法.七.分排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法?解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排后排先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,24A其余的5人在5个位置任意排列有____种,则共有_________种.55A24A55A14A14A再排后4个位置上的特殊元素有_____种,八.小集团问题先整体局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队,共有____种排法，再排小集团内部共有_______种排法，由分步计数原理共有_______种排法.22A2222AA2222AA22A31524小集团练习.在3×4的方格中，从A走到B的最短路径有多少种？九正难则反，等价转化策略3735C例.从1楼2楼有17级楼梯，上楼时可以一步一级，也一步两级，若要求11步走完这楼梯则，则有多少种不同的走法分析：由题意知，这11步中，6步，一步走两级，5步走一级，因此，要确定一种走法只需确定这11步中哪6步走两级即可，故不同的走法为611462CAB十一.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有_____种.35C十二.元素相同问题隔板策略例10.有10个三好学生名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻名额之间形成９个空隙.一班二班三班四班五班六班七班在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有______种分法.69C十三.重排问题求幂策略(应弄清“谁”选择“谁”）例.把7名实习生分配到5个车间实习,共有多少种不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有5种分法.把第二名实习生分配到车间也有5种分法，依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法.75例.7名学生争夺5项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有.分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将7名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得75种.例有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种分法？（l）甲得1本，乙得2本，丙得3本；（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）甲得2本，乙得2本，丙得2本；（4）平均分成三组，每组2本；（5）把6本不同的书分成三组，一组4本，另二组各1本.十四.平均分组（或分堆）问题除法策略123653CCC12336533CCCA22264233CCCA222642CCC41162122CCCA练习：某兴趣小组有9个人，现有3项不同的活动可以让他们参加。1）分成3组，每组3人，共有几种分法？2）分3组，其中2组2人，一组5人，有几种分法。？3）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，有几种分法？4）分成3组，每组3人，每组参加一项活动，有几种方法？5）分3组，其中2组2人，一组5人，每组参加一项活动，有几种方法？6）分3组，其中一组2人，一组3人，一组4人，每组参加一项活动，有几种方法？33333639ACCC22552729ACCC443729CCC3333333639)(AACCC3322552729)(AACCC33443729)(ACCC练习1.：3名医生和6护士分到3个医院，每个医院分1名医生和两名护士，有多少种分配方式？第一步：将三名医生分配到三所医院第二步：将6名护士分配到三所医院33A222426CCC由分步原理得：54022242633CCCA练习2.有5件不同的奖品，发给4个学习成绩优异者，每人至少1件，有多少种不同的分法？分析：错解一：从5件不同的奖品任取4件发给4个人，每人1件，再将剩下的1件发给4个人中的1人，保证每人至少1件，故有441544480CAC错解二：从5件不同的奖品任取1件发给任1个人，再将剩下的4件发给4个人，保证每人至少1件，故有114544480CAA正解：2454240CA