3线性系统的能控性和能观性

第三章线性系统的能控性和能观性•研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统.含义1:控制作用:对状态变量的支配能控性.系统输出能否反映状态变量能观性.含义2:能控性:能否找到使任意初态确定终态能观性:能否由输出量的测量值各状态多变系统两个基本问题:①在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态?②在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态?简单地说:如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控).如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的.例1:给定系统的状态空间描述:解:展开表明:状态变量,都可通过选择输入u而由始点终点完全能控.输出y只能反映状态变量,所以不能观测.xyuxxxx60215004212.1.222.11.6254xyuxxuxx1x2x2x1x3.1线性系统能控性和能观性的概念•含义：能控性：u(t)x(t)状态方程能观性：y(t)x(t)输出方程1.定义：设若存在一分段连续控制向量u(t)，能在内将系统从任意状态转移到任意终态，则该系统完全能控．BuAxx.][0ftt)(0tx)(ftx•说明：①任意初态(状态空间中任一点),零终态＝０能控②零初态任意终态xtx)(0)(ftx0)(0txxtxf)(能达2.定理1xAxBu设11nncBABABnrankSrankBABABnc状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：S的秩为即：例：判断能控性uxx111112310020231.321.xxxx21.uuu解：rank=23,不能控442211442211452312][2BAABBSccS•对于：行数＜列数的情况下求秩时：rank=rankcSnnTccSS][3.定理2：若，若Ａ为对角型，则状态完全能控的充要条件为：Ｂ中没有任意一行的元素全为零．BuAxx.ppubububxx1212111111ppubububxx2222121222例：线性系统的状态方程为其中：试判断该系统的能控性．buAxx.2100A21bbb解：如果rank=2,则必须要求][AbbSc)(1221222111bbbbbbAbbSccS0,021bb4.定理3：设，若Ａ为约当型，则状态完全能控的充要条件是：对应的每一个约当块的最后一行相应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．BuAxx.例：设系统的状态方程为其中：试判断系统的能控性．buAxx.2101A21bbb解：而b1是任意值，且rank=2则该系统能控．][AbbSc0222122111bbbbbbAbbSccS5.当Ａ的特征值,，且则可以经过将A化为约当型.如下:重根）11(重根）22(重根）ll(nl21xPx12iiiiirrr且例：设，已知BuAxx.001010001100010001000B0010101Br2100rB行线性无关不全为零能控6.线性变换后系统的能控性不变设令则：其中：BuAxx.][1BAABBSnCxPxuBxAx.BPBAPPA11,][1BABABSnCCnnnncSrankBAABBrankBAABBPrankBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPrankSrank][][][])()([1111111111111系统的能控性不变1P满秩矩阵7.定理4：设如果系统能控，则则必存在一个非奇异变换可将状态方程化为能控标准型：xAxbu][1BAABBSnC1xPxxAxbu其中：1PAPApbb1321100001000010naaaaA1000b•且：证明：(由推得)PAPA1PAPA3212PAPAP21PAP1212nnnPAPAPnnnPAPAP111例：求能控标准型．uxx110111.解：rankSc=2能控1101][AbbSC11011CS111101]10[1P101111APPP10111P则11101PAPA10Pbb3.2线性离散系统的能控性1.定义：设线性定常离散系统的状态方程:其中)()()1(kBukAxkxnRkx)(PRku)(nnRAnpBR若存在控制向量序列能在有限时间内，将系统第从k步的X(k)转移到至第n步的x(n)=0，则称系统在第k步上是能控的．如果每个k系统的所有状态能控，则称系统为完全能控．)1(),1(),(nkukuku[,]kTnT2.定理：设则系统完全能控的充要条件：rankSc=n其中：)()()1(kBukAxkx][1BAABBSnC证明：(以单输入为例)设假设：)()()1(kbukAxkx)()0()(101ibuAxAnxniinn0)(nx)1()1()0(][)]1()1()0([)()0(2121101nuuubAbAbAnbuAbuAbuAibuAxnnnii)0(][)1()2()1(121xbAbAbAnuuun这里x(0)是任意的nbAbAbArankn][21要求为满秩矩阵可求出u(0),u(1),u(n-1)nAnbAAbbAranknn][1nbAAbbrankSnC][1当例1：判断系统的能控性．1001(1)022()0()1101xkxkuk解：311220111][2bAAbbSc3CSrank该系统能控若已知求u(0),u(1),u(2)012)0(x)0()0()1(buAxx)1()0()0()1()1()2(2buAbuxAbuAxx32(3)(2)(2)(0)(0)(1)(2)xAxbuAxAbuAbubu31001(3)022(0)2(0)1103112(1)0(2)11xxuuu设x(3)=03111(0)100220(1)022(0)311(2)110uuxu解得：因此，对于任意x(0)，都能求出u(0),u(1),u(2),使x(0)x(3)=0(0)5(1)11(2)8uuu例2：①判断能控性②能否存在对任意x(0)x(1)=0？)()(1kBukAxkx041020122A011000B)()()(21kukuku)0()0()0(21uuu解：①2[]0012240102041004110CSBABABrankSc=3因此该系统能控所以一定可使任意x(0)x(3)=00)0()0()1(BuAxx)0()0(325.0021)0()0(211uuBuAx1(0)0,2x设-12-12-100.500.5022-32-32rankranku(0)1,u(0)0可求出10)0()0()0(21uuu35.02)0(x设但不能对任意x(0)x(1)=03.4线性定常系统的输出能控性在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设:•定义:在上,任意解出u(t),输出能控．BuAxx.DuCxypqnRuRyRx,,],[0ftt0)()(0ftyty2.定理：系统输出完全能控的充要条件：例：判断系统是否输出能控．解：rank[CBCABD]=rank[1-20]=1=q输出能控rankSc=rank[bAb]=12状态不能控uxx213214.xy013.5线性定常连续系统的能观性在实际工程实践中,往往需要知道状态变量,而由于各种原因,不一定都能直接获取,但输出变量总是可以获取和测量的.能观性—能否通过对输出的测量来确定系统的状态变量．0tft设线性定常连续系统状态空间表式：1.定义：对任意给定u(t)，在内输出y(t)可唯一确定系统的初态x(),则系统是完全能观的．yx()能观yx()能检0t],[0ftt确定确定BuAxx.DuCxy2.定理1：系统状态完全能观的充要条件：nSrankSrankT00])([10TnTTTTCACACSTnTCACACS][10证明：设00)()0()()()tAttAttxtexteBud（dBueCtxCetytttAttA)()()(00)(0)(0)(tu00t)0(])()()([)0()()0()()0()()0()()0()(1110111010xCACACItaItaItaxCAtaCAxtaCxtaxAtaCxCetynqnqqnnmnmmAt这里：是一个单位阵．要使y(t)x(0)qqqIR确定nrankSrankST003.定理2:若A为对角型，则系统完全能控能观的充要条件是：输出阵C中没有任何一列的元素全为零．•例：系统状态方程为ubbxx2121.00xccy21TTTCACS0)(12210ccS01c02c)(21系统能控能观则要求即rank=20S4.定理3：若A为约当型，则系统完全能观的充要条件是：C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零．如：能观ubbbxx321211.000001xccccccy232221131211132300cc例：设系统的状态方程为：判断系统的能观性．解：ubbxx2121.01xccy2121121110][cccccCACSTTT210cS20Srank能观01c5.约当型判据：设A有(重根)，(重根)，(重根)，buAxx.duCxyudxCyubxAx.xpx1122llnl21且要使系统完全能观，则由的第一列组成的矩阵：对均列线性无关。iiiiirrr21),,2,1(iikkC