初二数学寒假培优班讲义

第一讲分式主要公式：1.同分母加减法则:0bcbcaaaa2.异分母加减法则:0,0bdbcdabcdaacacacacac;3.分式的乘法与除法:bdbdacac,bcbdbdadacac4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am●an=am+n;am÷an=am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=ambn,(am)n=amn7.负指数幂:a-p=1paa0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2例1、当x有何值时，下列分式有意义（1）44xx（2）232xx例2、当x取何值时，下列分式的值为0.（1）31xx（2）42||2xx例3、当x为何值时，分式x84为正；例4、已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.例5已知：21xx，求221xx的值.例6、若0)32(|1|2xyx，求yx241的值.例7、计算：（1）mnmnmnmnnm22；（2）112aaa；例8、先化简后求值1112421222aaaaaa，其中a满足a=2.例9、解下列分式方程（1）xx311；（2）3423xxx；例10、若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.例11．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇，若同向而行，则b小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（）。（A）abb(B)bab(C)baba(D)baba例12.A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每次购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？（）（A）Ａ(B)Ｂ（C)都一样(D)不能确定例13．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意列方程正确的是（）。（A）24024054xx（B）24024054xx（C）24024054xx（D）24024054xx例14．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？例15．.翻译一份文稿，用某种电脑软件翻译的效率相当于人工翻译的效率的75倍，电脑翻译3300个字的文稿比人工翻译少用2小时28分。求用人工翻译与电脑翻译每分钟各翻译多少个字？练习：1．当x取何值时，下列分式有意义：（1）3||61x（2）1)1(32xx（3）x1112．当x为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5xx（2）562522xxx3、若0106222bbaa，求baba532的值.4．计算（1）)1(232)1(21)1(252aaaaaa；（2）ababbbaa222；（3）babba22；（4）2121111xxx；7．解下列方程：（1）021211xxxx；（2）3423xxx；8．已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.第二讲二次根式一、基础知识：1.二次根式：形如a（0a）的式子叫二次根式。2.二次根式的性质：①0a（0a）②2aa（0a）③200aaaaa注意：对于二次根式要明确被开方数必须是非负数；化简2a特别要注意0a时，2aa3.二次根式的乘除：①乘法：(0,0)ababab②除法：(0,0)aaabbb③二次根式乘除法则的逆用。④最简二次根式：当二次根式满足：a.被开方数不含分母，即被开方数中因数是整数，因式是整式;b.被开方数中不含开得尽方的因式这两个条件时，我们称这样的二次根式为最简二次根式。⑤加减实质是同类项合并。二、例题：1、化简：3275(0,0)xyxy__________。2、yxy82，2712。3、计算：125＝_______，(6)2＝______4、计算20102009)23()23(＝5、已知4322xxy，则，xy．6、计算：(1)21418122(2)2)352(7、先化简，再求值：11212222xxxxxxx，其中23x．8、计算：（1）451227；（2）11383322；（3）|1－2|+（3．14-π）0-91)21(9、当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。10.已知2310xx，求2212xx的值。11.已知,ab为实数，且1110abb，求20052006ab的值。12．若x，y是实数，且2111xxy，求1|1|yy的值。13.观察下列等式：①121=2+1；②231=3+2；③341=4+3；……，（1）、请用字母表示你所发现的律：即nn11=。（n为正整数）（2）化简计算：（211＋321＋431＋…[phone]）．四、练习323.1.2.7..1abDxCmBA）（式的是下列各式一定是二次根2.2().2.2.2.2xxAxBxCxDx若有意义，则的取值范围＞＜3．在15，61，211，40中最简二次根式的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各式正确的是（）A．aa2B．aa2C．aa2D．22aa5．若1＜x＜2，则213xx的值为（）A．2x-4B．-2C．4-2xD．26．24n是整数，则正整数n的最小值是（）A．4；B．5；C．6；D．77.如果最简根式3a－8与17－2a是同类二次根式，那么使4a－2x有意义的x的范围是（）A、x≤10B、x≥10C、x10D、x108、若a，b，c为三角形的三边，化简222)()()(acbacbcba的结果是{}A、a-b+cB、a+b-cC、a+b+cD、-a+b+c10.当__________时，212xx有意义。11.若11mm有意义，则m的取值范围是。12.若242xx，则x的取值范围是。13.已知222xx，则x的取值范围是。14.化简：2211xxx的结果是。15.当15x时，215_____________xx。16.若1ab与24ab互为相反数，则2005_____________ab。17.若23a，则2223aa等于（）A.52aB.12aC.25aD.21a18.若1a，则31a化简后为（）A.11aaB.11aaC.11aaD.11aa19.计算：222112aa的值是（）A.0B.42aC.24aD.24a或42axx1第三讲勾股定理例1、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是________________．例2、已知两条线段的长为9cm和12cm,当第三条线段的长为cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.例3、已知Rt△ABC中，∠C＝900，AB边上的中线长为2，且AC＋BC＝6，则ABCS＝例4、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，你能计算出这个三角形的面积吗？练习：1、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是__________2、如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是______________3、已知直角三角形的两边长分别为7和24，则第三边长为4、如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5cm，那么这个直角三角形的周长是例5、已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么它的最长边上的高为（）A、6B、8C、245D、125例6、一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为()A.12cmB.cm1360C.cm13120D.cm513练习：1、CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，若AB=10，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积为（）A、6B、8C、12D、24CˊDˊBCDAˊBˊA例72、直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为（）A、6B、8C、1380D、13603、在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（）A、125B、135C、56D、245例7、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少?例8、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．例9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_________．3220BA例9BA6cm3cm1cm例8例10、如图，公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在公路AB上建一车站E，（1）使得C，D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少km处？（2）DE与CE的位置关系（3）使得C，D两村到E站的距离最短，E站建在离A站多少km处？例11、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东300方向往C移动，且台风中心风力不变。若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级?ADEBCyx图12CBA问题二图练习1、已知，如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，EC的长是__________2、如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部____________m3、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等?ABCDEFBDEAx第四讲函数的初步认识知识点一：变量例1、写出下列各问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量（1）圆的周长C与半径r的函数关系式（2）厦门BRT以60km/h的速度行驶，它行驶的路程S（km）与所用的时间t（h）的函数关系式。（3）n边形的内角和度数S与边数n的函数关系式（4）n边形对角线条数S与边数n的函数关系式（5）等腰三角形顶角度数y与底角的度数x之间的函数关系式（6）已知等腰三角形的面积为20，设它的底边长为x,求底边上的高y关于x的函数关系式（7）在一个半径为10的圆形纸片中剪出一个半径为r的同心圆得到一个圆环，求圆环的面积S关于r的函数关系式（8）一个正方形边长为3，它的各个边长减少x后，得到的新的