同济大学(高等数学)-第一章-函数极限

1第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节集合与函数1.1集合1.1.1集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A、B、C、表示集合，用小写字母a、b、c、表示集合的元素.如果a是集合A的元素，则表示为Aa，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，则表示为Aa，读作“a不属于A”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A，可表示成A={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M所有元素x的共同特征为P，则集合M可表示为PxxM具有性质|.例如，集合A是不等式022xx的解集，就可以表示为02|2xxxA.由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N，即,,,3,2,1,0nN；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N，即,,,3,2,1nN；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z，即,,,3,2,1,0,1,2,3,,,nnZ；2（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q，即互质与且qpNqZpqpQ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R.1.1.2区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设Rba,，且ba，则（1）开区间bxaxba|),(；（2）半开半闭区间bxaxba|),[，bxaxba|],(；（3）闭区间bxaxba|],[；（4）无穷区间axxa|),[，axxa|),(，bxxb|],(，bxxb|),(，Rxx|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）图1-1在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1设为某个正数，称开区间),(00xx为点0x的邻域，简称为点0x的3邻域，记作),(0xU，即0000|),(xxxxxU|||0xxx.在此，点0x称为邻域的中心，称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x的邻域去掉中心0x后，称为点0x的去心邻域，记作),(0xUo，即||0|),(00xxxxUo,图形表示为（图1-3）：图1-3其中),(00xx称为点0x的左邻域，),(00xx称为点0x的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2设x、y是两个变量，D是给定的数集，如果对于每个Dx，通过对应法则f，有唯一确定的y与之对应，则称y为是x的函数，记作)(xfy.其中x为自变量，y为因变量，D为定义域,函数值)(xf的全体成为函数f的值域，记作fR，即DxxfyyRf),(|.函数的记号是可以任意选取的,除了用f外,还可用“g”、“F”、“”等表示.但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1求函数211xxy的定义域.解x1的定义区间满足：0x；21x的定义区间满足：012x，解得11x.这两个函数定义区间的公共部分是1001xx或.4所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[.例2判断下列各组函数是否相同.（1）xxflg2)(，2lg)(xxg；（2）334)(xxxf，31)(xxxg；（3）xxf)(，2)(xxg.解（1）xxflg2)(的定义域为0x，2lg)(xxg的定义域为0x.两个函数定义域不同，所以)(xf和)(xg不相同.（2）)(xf和)(xg的定义域为一切实数.334)(xxxf)(13xgxx,所以)(xf和)(xg是相同函数.（3）xxf)(，xxxg2)(,故两者对应关系不一致，所以)(xf和)(xg不相同.函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3函数0,10,00,1sgnxxxxy，函数为符号函数，定义域为R，值域1,0,1.如图1-4：图1-4例4函数xy，此函数为取整函数，定义域为R，设x为任意实数,y不超过x的最大整数，值域Z.如图1-5：图1-55特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x通过对于法则f有确定的y值与之对应，但这个y值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2函数的性质设函数)(xfy，定义域为D，DI.（1）函数的有界性定义3若存在常数0M，使得对每一个Ix，有Mxf)(，则称函数)(xf在I上有界.若对任意0M，总存在Ix0，使Mxf)(0，则称函数)(xf在I上无界.如图1-6：图1-6例如函数xxfsin)(在),(上是有界的:1sinx.函数xxf1)(在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性设函数)(xfy在区间I上有定义,1x及2x为区间I上任意两点,且21xx.如果恒有)()(21xfxf,则称)(xf在I上是单调增加的；如果恒有)()(21xfxf,则称)(xf在I上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数)(xfy的定义域D关于原点对称.如果在D上有)()(xfxf,则称)(xf6为偶函数；如果在D上有)()(xfxf,则称)(xf为奇函数.例如，函数2)(xxf，由于)()()(22xfxxxf，所以2)(xxf是偶函数；又如函数3)(xxf，由于)()()(33xfxxxf，所以3)(xxf是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(xfy的定义域为D.如果存在一个不为零的数l,使得对于任一Dx有Dlx,且)(xflxf,则称)(xf为周期函数,l称为)(xf的周期.如果在函数)(xf的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(xf的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数xysin和xycos是周期为2的周期函数，函数xytan和xycot是周期为的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数Cxf)(，对任意实数l，都有)()(xflxf，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数cQxQxxD,0,1)(，当cQx时，对任意有理数l，cQlx，必有)()(xDlxD，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.1.3反函数在初等数学中的函数定义中，若函数)(:DfDf为单射,若存在:1fDDf)(，称此对应法则1f为f的反函数.7习惯上,Dxxfy),(的反函数记作)(),(1Dfxxfy.例如，指数函数),(,xeyx的反函数为),0(,lnxxy，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(xfy单调递增(减)，其反函数)(1xfy存在，且也单调递增（减）.（2）函数)(xfy与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数xysin的反函数xyarcsin，正切函数xytan的反函数xyarctan.反正弦函数xyarcsin的定义域是]1,1[，值域是2,2；反正切函数xyarctan的定义域是),(，值域是2,2，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4设函数fDuufy),(，函数fggDRDxxgu值域,),(，则8gDxxgfyxgfy),()(或称为由)(),(xguufy复合而成的复合函数，其中u为中间变量.注：函数g与函数f构成复合函数gf的条件是fgDR，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsinuuy，，Rxxu,22.在形式上可以构成复合函数2arcsin2xy.但是22xu的值域为]1,1[),2[，故2arcsin2xy没有意义.在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则：从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5对函数xaysin分解.解xaysin由uay，xusin复合而成.例6对函数)12(sin2xy分解.解)12(sin2xy由2uy，vusin，12xv复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：常数函数：Cy（C为常数）；幂函数：)0(xy；指数函数：)10(aaayx且；对数函数：)10(logaaxya且；三角函数：xyxyxyxyxyxycsc,sec,cot,tan,cos,sin；反三角函数：xarcyxyxyxycot,arctan,arccos,arcsin.这六种函数统称为基本初等函数.定义5由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，xeysin，)12sin(xy，2cotxy等都是初等函数.9需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数0,0,xxxxy，可表示为2xy.习题1-11.求下列函数的定义域.（1）21xy；（2）2411xxy；（3）2ln2xxy；（4）43arcsinxy；（5）452xy；（6）2)3ln(xxy.2.下列各题中，函数)(xf和)(xg是否相同，为什么？（1）2lg)(xxf，xxglg2)(；（2）xxf)(，2)(xxg；（3）xxf)(，xexgln)(；（4）xxf)(，)sin(arcsin)(xxg.3.已知)(xf的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2xf；（2）)(tanxf；（3）)0)(()(aaxfaxf.4.设5312xxxf，求)(xf，)1(xf.5.判断下列函数的奇偶性.（1）xxytansin；（2）1lg2xxy；（3）2xxeey；（4）)1(3xxy；（5）0,10,1xxxxy.6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(lll上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；10（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇