2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程

2016年专项练习题集-定义法求轨迹方程选择题1、点p（x，y）是平面中的一个动点，满足：2222(4)(4)10xyxy，则点p的轨迹方程是（）A．221259xyB．221259xyC．221925xyD．221925xy分值：5答案：A【考查方向】本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键。【易错点】不能将22(4)xy看做点（x,y）和点（4,0）之间的距离。【解题思路】利用椭圆的定义即可得出．【解析】∵点p（x，y）在运动过程中满足关系式：2222(4)(4)10xyxy，∴点p到两定点F（4，0），F′（-4，0）的距离之和满足：|PF|+|PF′|=1o＞8．故点P的轨迹是以点F，F′为焦点，10为长轴长的椭圆．易知，c=4,a=5,b=3,椭圆的方程为221259xy，故选A．2、已知圆1c：（x+3）2+y2=4，圆2c（x﹣3）2+y2=100，动圆c与圆1c、圆2c都内切，则动圆圆心的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【分值】5【答案】A【考查方向】本题主要考查椭圆的定义、轨迹方程、圆与圆的位置关系及其判定。菁优网版权所有【易错点】找不出1cc+2cc为定值这一关系。【解题思路】设动圆的半径为r，由相切关系建立圆心距与r的关系，进而得到关于圆心距的等式，结合椭圆的定义即可解决问题．【解析】设动圆的半径为r，动圆圆心为c（x，y），因为动圆与圆1c：（x+3）2+y2=4及圆2c（x﹣3）2+y2=100都内切，则1cc=r﹣2，2cc=10﹣r．∴1cc+2cc=8＞12cc=6因此动圆圆心为c的轨迹是焦点为1c、2c，中心在（0，0）的椭圆．故选A．3、设动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A．y2=8xB．y2=﹣8xC．y2=8x或y=0（x＜0）D．y2=8x或y=0【分值】5【答案】C【考查方向】本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．【易错点】忽视讨论x.【解题思路】设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切，建立方程，化简可得动圆圆心M的轨迹方程．【解析】设动圆圆心M的坐标为（x，y），则∵动圆M与y轴相切且与圆C：x2+y2﹣4x=0相外切∴22(2)2xyx当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=8x故选C．4、若动圆过定点A（﹣2，0）且和定圆（x﹣2）2+y2=4外切，则动圆圆心P的轨迹方程为（）A．2213yxB．221(0)3yxxC．2213yxD．221(0)3yxx【分值】5【答案】D【考查方向】考查了双曲线的定义、两圆外切的性质和动点轨迹求法等知识，属于中档题．【易错点】容易错误的把轨迹看成整支双曲线。【解题思路】设定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B，根据外切两圆的性质得点P到B、A两点的距离之差等于2，由此可得点P在以A、B为焦点的双曲线的左支上，可得本题的答案．【解析】设动圆的半径为R，∵动圆圆心为P，点A在动圆上，∴|PA|=R又∵定圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为B（2，0），半径为2，定圆与动圆P相外切∴圆心距|PB|=R+2由此可得|PB|﹣|PA|=（R+2）﹣R=2（常数），∴点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的左支。易知：双曲线焦点在x轴，1,2ac，所以方程为221(0)3yxx故选：D5、已知圆C：（x+2）2+y2=36和点B（2，0），P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（）A．y2=6xB．22195xyC．22195xyD．x2+y2=9【分值】5【答案】B【考查方向】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MC|+|MB|=6＞|BC|，是解题的关键和难点．【易错点】不能得出|MC|+|MB|=6。【解题思路】根据线段中垂线的性质可得，|MB|=|MP|，又|MP|+|MC|=半径6，故有|MC|+|MB|=6＞|BC|，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出a、b值，即得椭圆的标准方程．解析：由圆的方程可知，圆心C（﹣2，0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y），∵BP的垂直平分线交CQ于点M，∴|MB|=|MP|．又|MP|+|MC|=半径6，∴|MC|+|MB|=6＞|BC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2a=6，c=2，∴b=5，故椭圆方程为22195xy，故选B．填空题6、△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，A、C两点的坐标分别为（0,1），（0，-1），则点B的轨迹方程是．【分值】3【答案】22134xy．（0＜y＜2）【考查方向】本题主要考查椭圆的定义，熟练掌握等差数列的定义、椭圆的定义是解题的关键。【易错点】忽视|BC|＞|AC|＞|BA|，而导致曲线为整条椭圆。【解题思路】利用等差数列的定义可得，|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．利用椭圆的定义即可得出．解：∵△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|成等差数列，∴|BC|+|BA|=2|AC|=4＞|AC|．由题意的定义可知：点B的轨迹方程是以点A，C为焦点（c=1），a=2为半长轴长的椭圆的一部分，∴b2=a2﹣c2=4﹣1=3．∴点B的轨迹方程是22134xy．∵△ABC的三边|BC|＞|AC|＞|BA|，∴0＜y＜2．故答案为22134xy．（0＜y＜2）．7、、如图，，AB，,PCD、，且AD⊥α，ADBC，AD=2，BC=4，AB=6，若tan∠ADP+2tan∠BCP=5，则点P在平面α内的轨迹是。【分值】3【答案】椭圆的一部分【考查方向】本题考查椭圆的定义，注意定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．【易错点】忽视定义中动点到两定点距离之和与定点间距离的大小比较．【解题思路】根据题意，易得tan∠ADP=，tan∠BCP=，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，可得AP+BP=10，比较可得AP+BP＞AB，由椭圆的定义分析可得答案．解析：由AD⊥α，可得AD⊥AP，tan∠ADP=，四边形ABCD是梯形，则AD∥BC，可得BC⊥α，BC⊥BP，则tan∠BCP=，又由tan∠ADP+2tan∠BCP=5，且AD=2，BC=4，可得AP+BP=10，又由AB=6，则AP+BP＞AB，故P在平面α内的轨迹是椭圆的一部分，8、点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：y﹣4=0的距离小1，则点M的轨迹方程是．【分值】3【答案】x2=﹣12y【考查方向】考查了两点间的距离公式、轨迹方程的求法、抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．【易错点】在去|x-3|的绝对值时，不能根据平面几何原理，得y＜3。解题思路：设M（x，y），由两点间的距离公式建立关于x、y的方程，结合平面几何原理将方程化简整理，即可得到点M的轨迹方程．【解析】设M（x，y），依题意得∵点M到点F（0，﹣3）的距离比它到直线l：y﹣43=0的距离小1，∴由两点间的距离公式，得22(0)(3)41xyy，根据平面几何原理，得y＜4，原方程化为22(0)(3)3xyy两边平方，得x2+（y+3）2=（3﹣y）2，整理得x2=﹣12y即点M的轨迹方程是x2=﹣12y．故答案为：x2=﹣12y．综合题9、已知F（﹣2，0），以F为圆心的圆，半径为r，点A（2，0）是一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于点Q．在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．（1）r=2时，点P在圆上运动；【分值】6【答案】2213yx，是双曲线；【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．【易错点】不能找出QA=QP及|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP这两个关系式。【解题思路】由题意得QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线．【解析】（1）当r=2时，∵A为⊙F外一定点，P为⊙F上一动点线段AP的垂直平分线交直线FP于点Q，则QA=QP，则|QA﹣QF|=|QP﹣QF|=FP=r=2，即动点Q到两定点F、A的距离差的绝对值为定值，根据双曲线的定义，可得点Q的轨迹是：以F，A为焦点，FA为焦距长的双曲线，故2a=2，2c=4，⇒a=1，c=2，b=3．故方程为：2213yx，是双曲线；（2）r=8时，点P在圆上运动．【分值】6【答案】2211612xy，是椭圆【考查方向】本小题主要考查椭圆的定义、双曲线的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．熟练掌握双曲线、椭圆的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键．属于中档题．【易错点】不能找出QA=QP，FP=FQ+QP这两个关系式。【解题思路】由题意QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以FQ+QA=8．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，由此能求出曲线的方程．【解析】（2）当r=8时，由题意：QA=QP，FP=FQ+QP=r=8，所以FQ+QA=9．故曲线是以A、F为焦点，长轴长为8的椭圆，其2a=8，2c=4，⇒a=4，c=2，b=23，方程为：2211612xy，是椭圆．10、已知圆221:2=15Fxyx，点2F（1，0），P是圆1F上任意一点，线段2PF的垂直平分线和半径1PF相交于Q（1）求动点Q的轨迹Γ的方程；【分值】5【答案】【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．【易错点】找不出和为定值这一条件。【解题思路】连结2QF，运用垂直平分线定理可得，2QPQF，可得12112+42QFQFQFQPFF，由椭圆的定义即可得到所求轨迹方程；解析：（1）将化为：（x+1）2+y2=16，连结2QF，运用垂直平分线定理可得，2QPQF，可得12112+42QFQFQFQPFF，故动点Q的轨迹Γ是以12FF、为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为：22221(0)xyabab可知a=2，c=1，∴所以点Q的轨迹Γ的方程为；（2）若直线y=k（x﹣1）与（1）中的轨迹Γ交于R，S两点，问是否在x轴上存在一点T，使得当k变动时，总有∠OTS=∠OTR？说明理由．【分值】7【答案】存在T（4，0）【考查方向】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0，以及点满足直线方程，属于中档题．【易错点】不能将条件∠OTS=∠OTR转化为kTS+kTR=0。【解题思路】假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由直线的斜率之和为0，化简整理，即可得到存在T（4，0）．【解析】（2）假设存在T（t，0）满足∠OTS=∠OTR．设R（x1，y1），S（x2，y2）联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理有①，其中△＞0恒成立，由∠OTS=∠OTR（显然TS，TR的斜率存在），故kTS+kTR=0即②，由R，S两点在直线y=k（x﹣1）上，故y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1）代入②得，即有2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0③，将①代入③，即有：④，要使得④与k的取值无关，当且仅当“t=4“时成立，综上所述存在