流体力学中的三大基本方程

流体力学中的三大基本方程刘颖杰1连续性微分方程理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用数学描述：[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间质量的累积or增量]=0假定流体连续地充满整个流场，从中任取出以点为中心的微小六面体空间作为控制体如右图。控制体的边长为dx，dy，dz，分别平行于直角坐标轴x，zyxo，，•公式推导：（1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为,液体密度为。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为zyxvvv，，dxxvvxx21dxxvvxx21因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向dydzdxxvvxx21dydzdxxvvxx21流出控制体的质量为于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为dxdydzxvdydzdxxvvdydzdxxvvxxxxx2121流入控制体的质量为同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为dxdydzyvydxdydzzvz故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：xyzdxdydzxyz（）（）（）和⑵控制体内质量变化：因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：dtdxdydzdxdydzdtdxdydztt（）单位时间内，微元体质量增量：dxdydztdtdtdxdydzt/（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）⑶根据连续性条件：0）（）（）（zyxzyxt矢量形式：0t——三维连续性微分方程⑴适用条件：不可压缩和可压缩流体理想和实际流体稳态及非稳态流动⑵不可压缩性流体的连续性微分方程：0zyxzyxor说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入体积流量与流出体积流量相等。0div⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变，0t0）（）（）（zyxzyx⑷二维平面流动：0yxyx0)(div2.理想流体的运动方程3.4.1---欧拉运动微分方程理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。推导过程：⑴取微小六面控制体牛顿第二定律or动量定理：⑵推导依据：dtmddtdmamF）（即作用力之合力=动量随时间的变化速率⑶分析受力：①质量力：fdxdydz单位质量力：kfjfiffzyxX方向上所受质量力为：②表面力：理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：22MNpdxpdxppppxxX方向上质点所受表面力合力：MNpppdydzdxdydzx（）dxdydzfx③流体质点加速度a的计算方法：），，，（tzyx流速的全导数应是：zyxtdtdazyx当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时间变化特性迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速度变化率。）（tfx）（tfy'）（tfy''流体质点加速度a在三个坐标轴上的分量表示成：xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzdadttxyzdadttxyzdadttxyz⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：得x方向上的运动微分方程：xxdpdxdydzdxdydzfdxdydzdtx单位体积流体的运动微分方程：xxdpfdtx单位质量流体的运动微分方程：1xxdpfdtx同理可得y,z方向上的：yz111xxxxxxyzxyyyyyxyzzzzzzxyzdpfdttxyzxdpfdttxyzydpfdttxyzz向量形式：1dfgradpdt式中：pppgradpijkxyZ——理想流体欧拉运动微分方程适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体（5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例：连续性方程：0zyxzyx运动方程：2222221()xxxxxxxxyzxpftxyzxxyz2222221()yyyyyyyxyzypftxyzyxyz1.含有四个未知量完整的方程组。2.描述了各种量间的依赖关系。3.通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始条件）→特解。即描述流体流动的完整方程组+单值性条件→描述某一特定流动。），，（Pzyx,2222221()zzzzzzzxyzzpftxyzzxyz3.伯努利方程(Bernoulli)理想流体稳定流动的伯努利微分方程由理想流体欧拉运动微分方程111xxyyzzdpfxdtdpfydtdpfzdt是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，与时间无关，方程转换去除t项伯努利（D.Bernouli1700－1782）方程的提出和意义推导得：1ddpgdzOr10gdzdpd——伯努利方程微分形式。说明：流体质点在微小控制体dxdydz范围内，沿任意方向流线流动时的能量平衡关系式。①适用范围：理想流体、稳定流体、质量力只有重力且在微小控制体dxdydz范围内沿某一根流线；②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着的流体质点速度，位移和压强、密度四者之间的微分关系。3.1伯努利方程积分形式1.沿流线的积分方程：CdPgz22设：const22pgzCOr22pzCrg——理想流体微元流束的伯努利方程。10gdzdpd①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定流动、质量力只有重力，且沿某一根流线；②任选一根流线上的两点：22112212c22ppzzrgrg（流线变化了则C值变化）③静止流体：pzCr静止容器内任一点的z与P/r之和为常数。静力学方程物理意义及几何意义：z:单位重量流体所具有的位能N·M/N；（可以看成mgz/mg）P/r:单位重量流体所具有的压力能；⑴物理意义：g22：单位重量流体所具有的动能；三者之和为单位重量流体具有的机械能。理解：质量为m微团以v运动，具有mv2/2动能，若用重量mg除之得v2/2g理想、不可压缩流体在重力场中作稳定流动时，沿流线or无旋流场中流束运动时，单位重量流体的位能，压力能和动能之和是常数，即机械能是守恒的，且它们之间可以相互转换。物理意义：⑵几何意义：z：单位重量流体的位置水头；（距离某一基准面的高度）P/r:单位重量流体的压力水头，或静压头；（具有的压力势能与一段液柱高度相当）g22:单位重量流体具有的动压头or速度水头,速度压头。物理中：质量为m以速度v垂直向上抛能达到的最高高度为v2/2g三者之和为单位重量流体的总水头。理想、不可压缩流体在重力场中作稳态流动时，沿一根流线（微小流束）的总水头是守恒的，同时可互相转换。几何意义：3.2伯努利方程的应用①可求解流动中的流体v、P及过某一截面的流量；②以伯努利方程为原理测量流量的装置。皮托管（毕托管）：测量流场中某一点流速的仪器。皮托曾用一两端开口弯成直角的玻璃管测塞那河道中任一点流速。A点为驻点）：（0总压⑴皮托管：B点：A点前选一点不受玻璃管干扰的点；A--B认为是一条流线。列沿流线AB上两点的伯努利方程：2222AABBABppzzrgrgzA=zBA=0PB总=PA=r(H0+h)PB=rH0总压静压动压ghrPPgBAB22在皮托管上再接一个静压管，即为皮托静压管，二者差即为动压。⑵皮托—静压管列1、2两点的伯努利方程：221122121222ppzzrgrg0121，zz12212122ppgrrghr欲求Q，须求层流：紊流：max820max21谢谢！