第二章 连续小波变换

第二章连续小波变换2.1连续小波变换及其性质2.1.1连续小波基函数小波，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。小波的可容许条件：RC|||)(|2^小波特点：（一）“小”。即在时域都具有紧支集或近似紧支集。（二）正负交替的“波动性”。即直流分量为零。信号可分解为一系列由同一个母小波函数经平移与尺度伸缩得到的小波函数的叠加。优点：将小波母函数进行伸缩和平移，就可以得到函数：小波函数基，它们是由同一母函数经伸缩和平移后得到的一组函数序列。)(t0;,),(1)(,aRaatata)(t伸缩和平移的含义1.尺度伸缩2.时间平移由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩平移后的函数在时、频域仍是局部性的。小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小；反之亦然。定量分析-时域假定小波母函数窗口宽度为△t，窗口中心为t0，则相应可求出连续小波的窗口中心为at0+τ，窗口宽度为a·△t。即信号限制在时间窗内：[at0+τ-△t·a/2,at0+τ+△t·a/2])(1)(,atata定量分析-频域同样，对于小波母函数的频域变换，其频域窗口中心为ω0，窗口宽度为△ω，则相应的连续小波的傅立叶变换为：其频域窗口中心为：窗口宽度为：信号在频域窗内：)()(21,aeaja0,1aaa1]211,211[00aaaa从上面的时频域的讨论可见，连续小波的时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸缩，如果我们称△t·△ω为窗口函数的窗口面积，则：可见：连续小波基函数的窗口面积不随参数的变化而变化。atataa1,,几点结论：（1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号。（2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t和△ω都随频率ω（或a）的变化而变化。与短时傅立叶变换中的基不同。tjetgtg)()(,（3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时得到提高。（4）品质因素不随尺度变化而变化。0Q2.1.2连续小波变换的定义和性质1.连续小波变换的定义将任意L2（R）空间中的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波变换（CWT）。其表达式为：其中：dtattfattfaWTRaf)()(1)(),(),(,}0{,),(||)(21,RaRbatata从定义可以看出：小波变换和傅立叶变换一样，也是一种变换，为小波变换系数。也可见其与傅立叶变换的区别。),(aWTf逆变换若小波满足容许条件，则连续小波变换存在着逆变换。容许条件：逆变换公式：RdC|||)(|2dataaWTadaCdtaWTadaCtffaf)(1),(1)(),(1)(02,02说明：（1）必须满足“容许条件”，反变换才存在。（2）在实际应用中，对基本小波的要求往往不局限于满足容许条件，对还要施加所谓“正则性条件”，使在频域上表现出较好的局域性能。为了在频域上有较好的局域性，要求随a的减小而迅速减小，所以这就要求的前n阶原点距为0，且n值越高越好。即：)(t)(|),(|aWTf)(t值越大越好。且nnpdtttp,~1,0)(2.连续小波变换的性质（1）线性（2）时移共变性（3）时标定理。性质（4）微分运算（5）能量守恒（6）冗余度2.2几种常用的小波小波分类的标准（1）的支撑长度，即当时间或频率趋向于无穷大时，它们从一个有限值收敛到0。（2）对称性。它在图像处理中可以有效的避免移相。)()()()(、、、tt（3）的消失矩阵数。这对于压缩非常有用。（4）正则性。它在对信号或图像的重构获得较好的平滑效果作用上是非常有用的。具有对称性的小波不易产生相位畸变；具有好的正则性的小波，易于获得光滑的重构曲线和图像，从而减小误差。)()(tt和常用的小波1.Haar小波。其他,0121,1210,1)(ttt2.Daubechies（dbN）小波12002220110121)()2(sin)2(cos|)(|)(NkjkkNkNNkkkNehmPmCyCyPkk式中，则有：为二项式的系数，，其中，令3.MexicanHat(mexh)小波其函数为Gauss函数的二阶导数：2222222)()1()(eettt4.Morlet小波它是高斯包络下的单频率复正弦函数。是重构时的归一化常数CxCett)5cos()(222.3连续小波变换的步骤（1）选择小波函数及其尺度a值。（2）从信号的起始位置开始，将小波函数和信号进行比较，即计算小波系数。（3）沿时间轴移动小波函数，即改变参数b，在新的位置计算小波系数，直至信号的终点。（4）改变尺度a值，重复（2）、（3）步。2.4尺度和频率之间的关系a为尺度；△为采样间隔；Fc为小波的中心频率；Fa为伪频率。aFFca2.5应用实例