第十四章 整式的乘法与因式分解复习课件

第十四章整式的乘法与因式分解复习课幂的运算性质整式的乘法整式的除法互逆运算乘法公式（平方差、完全平方公式）特殊形式相反变形因式分解（提公因式、公式法）相反变形知识网络专题一幂的运算性质【例1】计算(2a)3(b3)2÷4a3b4.【解析】幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除.【答案】原式=8a3b6÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2.【例2】计算(-8)2016×(0.125)2015.【解析】此题可先用同底数幂的乘法的逆运算，将（-8）2016化为（-8）×（-8）2015，再用积的乘方的性质的逆运算进行计算.【答案】原式=（-8）×（-8）2015×（0.125）2015=（-8）[（-8）×0.125]2015=（-8）×（-1）2015=8.【点拨】运用幂的运算公式，可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.【归纳拓展】幂的运算性质包括同底数幂的乘方、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法.这四种运算性质贯穿全章，是整式乘除及因式分解的基础.其逆向运用可以使一些计算简便，从而培养一定的计算技巧，达到学以致用的目的.【配套训练】1.下列计算不正确的是（）A.2a3÷a=2a2B.(-a3)2=a6C.a4·a3=a7D.a2·a4=a82.(1)计算：0.252015×（-4）2015-8100×0.5301；（2）比较大小：420与1510.D【答案】（1）原式=[0.25×（-4）]2015-（23）100×0.5300×0.5=-1-（2×0.5）300×0.5=-1-0.5=-1.5；（2）∵420=（42）10=1610，16101510,∴4201510.专题二整式的运算【例3】计算：[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.【答案】原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y=(2x3y2-2x2y)÷3x2y=.2233xy当x=1,y=3时，原式=.222241333333xy【归纳拓展】整式的乘除法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及单项式除以单项式、多项式除以单项式，其中单项式乘以单项式是整式乘除的基础，必须熟练掌握它们的运算法则，整式的混合运算，要按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行，有括号的要算括号里的.【配套训练】(1)一个长方形的面积是a2-2ab+a,宽为a,则长方形的长为；（2）已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A,得商为2x，余式为x-1,则这个多项式是.a2-2b+12122xx专题三整式的乘法公式的运用【例4】先化简再求值：[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x,其中x=3,y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先计算括号内的，再计算整式的除法运算.【答案】原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷2x=(2x2-2xy)÷2x=x-y.当x=3,y=1.5时，原式=3-1.5=1.5.【归纳拓展】整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.【配套训练】(1)求方程(x-1)2-(x-1)(x+1)+3(1-x)=0的解；（2）已知x2+9y2+4x-6y+5=0,求xy的值.【答案】(1)原方程可化为-5x+5=0,解得x=1.(2)∵x2+9y2+4x-6y+5=0,∴(x2+4x+4)+(9y2-6y+1)=0，∴(x+2)2+(3y-1)2=0.∴x+2=0,3y-1=0,解得x=-2,y=,12(2).33xy13专题四分解因式【例5】判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：(1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a;(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;(3)x2-6x+9=(x-3)2(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【答案】(1)不是，因为最后不是做乘法运算，不是积的形式；（2）不是，因为从左边到右边是做乘法运算；（3）是；（4）不是，因为令x=2,y=1,左边=10，右边=32，不是恒等变形.这种方法叫赋值法.是一种比较好的方法，希望掌握！【点拨】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.【归纳拓展】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它与整式乘法互为逆运算，分解因式的方法主要是提公因式法和公式法，因式分解时，一般要先提公因式，再用公式法分解，因式分解要求分解到每一个因式都不能再分解为止.【配套训练】(1)下列变形，是因式分解的是（）A.a(x+y)=ax+ayB.x2+4xy+y2-1=x(x+4y)+(y+1)(y-1)C.am2-a=a(m+1)(m-1)D.m2-9n2+3=(m+3n)(m-3n)+3.（2）分解因式：（x+y)2-4(x+y-1).解：原式=（x+y)2-4(x+y)+4=(x+y-2)2.C专题五实际问题转化为数学模型【例6】如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是.baaaabbbbba-ba2-b2=(a+b)(a-b).【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差（a2-b2),又由于图的梯形的上底是是2b,下底是2a,高为a-b,所以梯形的面积是（2a+2b)(a-b)÷2=(a+b)(a-b),根据面积相等，得乘法公式a2-b2=(a+b)(a-b).【答案】a2-b2=(a+b)(a-b).【点拨】数形结合思想是一种重要的数学思想，它为验证某些公式提供了方便.【归纳拓展】通过应用公式，我们可以把实际问题转化为数学问题，提高了数学的应用性.【配套训练】我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①和图②等图形的面积表示.aaabbabababa2a2b2图①b2a2a2abababaaabb图②（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）请写出图③所表示的代数恒等式；bbaabaabababababa2a2b2b2图③【答案】(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;(2)如图④.图④a2baababababb2b2b2整式乘除与因式分解幂的运算性质①am·an=am+n②(am)n=amn③(ab)n=anbn④am÷an=am-n(m,n都是正整数）整式的乘除法①单×单②单×多③多×式•单÷单⑤多÷单乘法公式因式分解定义搞清楚与整式乘法的区别与联系步骤一提二套三检查(a+b)(a-b)=a2-b2(a±b)2=a2±2ab+b2课堂小结1.已知（a+b)2=11,(a-b)2=7,则ab等于（）A.1B.-1C.0D.1或-1A2.如果4x2+12xy+k是一个关于x、y的完全平方式，则k等于（）A.3y2B.9y2C.yD.36y2B3.如果a+=3,那么a2+=.1a21a7课堂训练4.已知,,求（a+b）2-(a-b)2的值.7522a4425b解:(a+b)2-(a-b)2=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=2a·2b=4ab.当，时，原式=4××=2275a2544b22752544.235.若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ×22ｎ=（2ｍ）3×（2ｎ）2=53×32=1125.