反比例函数压轴题精选(含答案)

12009-2013年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k的几何意义：(I)12AOBAOCSSk；(II)OBACSk矩形。下面两个结论是上述结论的拓展.(1)如图①，OPAOCDSS，OPCPADCSS梯形。(2)如图②，OAPBOBCASS梯形梯形，BPEACESS。经典例题例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)kyxx经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则k2；(2)如图，点AB、为直线yx上的两点，过AB、两点分别作y轴的平行线交双曲线1(0)yxx于CD、两点，若2BDAC，则224OCOD6例2．(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy6的图象交),(),,(2211yxByxA，那么))((1212yyxx值为24.解析：因为A，B在反比例函数xy6上，所以611yx，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211yxByxA中有1212,yyxx，所以24644))(())((1111111212yxyyxxyyxx例3．(2010山东威海)如图，一次函数bkxy的图象与反比例函数xmy的图象交于点A﹙－2，－5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．FECBAoxyDCBAoxyCBAoyxEPDCAoyx图①EPCBAoyx图②2(1)求反比例函数xmy和一次函数bkxy的表达式；(2)连接OA，OC．求△AOC的面积．解：(1)∵反比例函数xmy的图象经过点A﹙－2，－5﹚，∴m=(－2)×(－5)＝10．∴反比例函数的表达式为xy10．∵点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，∴2510n．∴C的坐标为﹙5，2﹚．∵一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入bkxy，得.5225bkbk，解得.31bk，∴所求一次函数的表达式为y＝x－3．(2)∵一次函数y=x－3的图像交y轴于点B，∴B点坐标为﹙0，－3﹚．∴OB＝3．∵A点的横坐标为－2，C点的横坐标为5，∴S△AOC=S△AOB+S△BOC=22152215212-21OBOBOB．例4．（2007福建福州）如图，已知直线12yx与双曲线(0)kykx交于AB，两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线(0)kykx上一点C的纵坐标为8，求AOC△的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线(0)kykx于PQ，两点（P点在第一象限），若由点ABPQ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解：（1）点A横坐标为4，当4x时，2y．点A的坐标为(42)，．点A是直线12yx与双曲线(0)kykx的交点，428k．（2）解法一：如图1，点C在双曲线上，当8y时，1x点C的坐标为(18)，．过点AC，分别做x轴，y轴的垂线，垂足为MN，，得矩形DMON．OxAyB图1OxAyDMNCOABCxyD332ONDMS矩形，4ONCS△，9CDAS△，4OAMS△．3249415AOCONCCDAOAMONDMSSSSS△△△△矩形．解法二：如图2，过点CA，分别做x轴的垂线，垂足为EF，，点C在双曲线8yx上，当8y时，1x．点C的坐标为(18)，．点C，A都在双曲线8yx上，4COEAOFSS△△COECOAAOFCEFASSSS△△△梯形．COACEFASS△梯形．1(28)3152CEFAS梯形，15COAS△．（3）反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，OPOQ，OAOB．四边形APBQ是平行四边形．1124644POAAPBQSS△平行四边形．设点P横坐标为(04)mmm且，得8()Pmm，．过点PA，分别做x轴的垂线，垂足为EF，，点PA，在双曲线上，4PQEAOFSS△△．若04m，如图3，POEPOAAOFPEFASSSS△△△梯形，6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm∴·．解得2m，8m（舍去）．(24)P，．若4m，如图4，AOFAOPPOEAFEPSSSS△△△梯形，6POAPEFASS△梯形．182(4)62mm，解得8m，2m（舍去）．(81)P，．点P的坐标是(24)P，或(81)P，．图2OxAyBFEC图3OAyBFQEPx图4OxAyBFEQP4例5.(山东淄博)如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1yxb2=-+过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．【答案】解：（1）设反比例函数的解析式kyx=，∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k43=，即k=12。∴反比例函数的解析式12yx=。（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。∵点D在直线1yxb2=-+上，∴134b2=-?，解得b=5。∴直线DF为1yx52=-+。将y4=代入1yx52=-+，得14x52=-+，解得x2=。∴点F的坐标为（2，4）。（3）∠AOF＝12∠EOC。证明如下：在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。设直线EG：ymxn=+，∵E（3，4），G（4，2），∴43mn24mn，解得，m2n=10－。∴直线EG：y2x10=-+。令y2x10=0=-+，得x5=。∴H（5，0），OH=5。在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OH=OE。∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝12∠EOC。5例6.(2009山东威海)一次函数yaxb的图象分别与x轴、y轴交于点,MN，与反比例函数kyx的图象相交于点,AB．过点A分别作ACx轴，AEy轴，垂足分别为,CE；过点B分别作BFx轴，BDy轴，垂足分别为FD，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点AB，在反比例函数kyx的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDKCFBKSS四边形四边形；②ANBM．（2）若点AB，分别在反比例函数kyx的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．解：（1）①ACx⊥轴，AEy⊥轴，四边形AEOC为矩形．BFx⊥轴，BDy⊥轴，四边形BDOF为矩形．ACx⊥轴，BDy⊥轴，四边形AEDKDOCKCFBK，，均为矩形．1111OCxACyxyk，，，11AEOCSOCACxyk矩形2222OFxFByxyk，，，22BDOFSOFFBxyk矩形．AEOCBDOFSS矩形矩形．AEDKAEOCDOCKSSS矩形矩形矩形，CFBKBDOFDOCKSSS矩形矩形矩形，AEDKCFBKSS矩形矩形②由（1）知AEDKCFBKSS矩形矩形．AKDKBKCK．AKBKCKDK90AKBCKD°，AKBCKD△∽△．CDKABK．ABCD∥ACy∥轴，四边形ACDN是平行四边形．ANCD．同理BMCD．ANBM．（2）AN与BM仍然相等．AEDKAEOCODKCSSS矩形矩形矩形，BKCFBDOFODKCSSS矩形矩形矩形，又AEOCBDOFSSk矩形矩形，OCFMDENKyx11()Axy，22()Bxy，（图1）OCDKFENyx11()Axy，33()Bxy，M（图2）OCDKFENyxABM图26xyABO1S2SyxOP1P2P3P4P5A1A2A3A4A52yxAEDKBKCFSS矩形矩形AKDKBKCK．CKDKAKBK．KK，CDKABK△∽△．CDKABK．ABCD∥．ACy∥轴，四边形ANDC是平行四边形．ANCD．同理BMCD．ANBM．第一部分练习一、选择题1.(2009年鄂州)如图，直线y=mx与双曲线y=xk交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若ABMS=2，则k的值是A.2B.m－2C.mD.42.(2009兰州)如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数1yx（0x）的图象上，则点E的坐标是（，）.3.(2009泰安）如图，双曲线)0(＞kxky经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为A．xy1B．xy2C．xy3D．xy64.（2009仙桃）如图，已知双曲线)0k(xky＞经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．5.(2009年牡丹江市)如图，点A、B是双曲线3yx上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1S阴影，则12SS．6.（2009年莆田）如图，在x轴的正半轴上依次截取112233445OAAAAAAAAA，过点12345AAAAA、、、、分别作x轴的垂线与反比例函数20yxx的图象相交于点12345PPPPP、、、、，得直角三角形1112233344455OPAAPAAPAAPAAPA2、、、、，并设其面积分别为12345SSSSS、、、、，则5S的值为．．7yxOBCAABCDEyxOM第4题图第5题图第6题图7.（2009年包头）已知一次函数1yx与反比例函数kyx的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点CABx，⊥轴于点B，AOB△的面积为1，则AC的长为8.（2010嵊州市）如图,直线)0(kkxy与双曲线xy2交于),(),,(2211yxByxA两点,则122183yxyx的值为A.－5B.－10C.5D.10【答案】B9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线kyx交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值A．等于2B．等于34C．等于245D．无法确定【答案】B第7题图第8题图第9题图10.（2010江苏盐城）如图，A、B是双曲线y=kx(k0)上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=．【答案】411.（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(xxky的图像上。正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数)0(xxky的图像又经过A、E两点，则点E的横坐标为__________。【答案】612.（2010四川内江）如图，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为A．1B．2C．3D．4【答案】ByOxACBxyBAoOABCDxy8图10图6图5—2图5—1输出y取相反数42取倒数取倒数输入非零数xPQM第10题图第11题图第12题图13.（2011山东东营）如图,直线l和双曲线(0)kykx交于A、B亮点,P是线段AB