普通物理学第六版7-9

上页下页返回退出上页下页返回退出§7-9有电介质时的高斯定理电位移一、有电介质时的高斯定理电位移在有电介质存在的电场中，高斯定理仍成立，但要同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场。总电场极化电荷自由电荷上式中由于极化电荷一般也是未知的，用其求解电场问题很困难，为便于求解，引入电位移矢量，使右端只包含自由电荷。qqSES001d上页下页返回退出上页下页返回退出++++++++++++++++++++------------------EP001S2S设无限大平行板间充满均匀电介质，两极板所带自由电荷面密度为，电介质极化后两表面极化电荷面密度为。0取圆柱形高斯面如图中虚线所示，则又P由于S1在导体中，0P22SPS21001dSSSES21dddSSSSPSPSP2ddSSSPSP上页下页返回退出上页下页返回退出100Sq令代入上式并移项，得定义：电位移矢量PED0则可得有电介质时的高斯定理电位移线的描画方法同电场线的描画。垂直于电位移线单位面积上通过的电位移线数目等于该点电位移的量值，称为电通量。SSSPSSEd11d010000dqSPES0dqSDS上页下页返回退出上页下页返回退出++++++++++++++++++++线线DE从有电介质时的高斯定理可知：通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。上页下页返回退出上页下页返回退出++++++++++线P电位移线起于正的自由电荷，止于负的自由电荷。电场线起于正电荷、止于负电荷，包括自由电荷和极化电荷。电极化强度矢量线起于正的极化电荷，止于负的极化电荷。只在电介质内部出现。上页下页返回退出上页下页返回退出PED0EP)1(r0EEDr0有电介质存在时的高斯定理的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。二、三矢量之间关系PED、、上页下页返回退出上页下页返回退出例题7-29一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。解:金属球是等势体，介质以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用有电介质时的高斯定理来。Rq0rPS高斯面：过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知上页下页返回退出上页下页返回退出20π4rqD024πrqDer所以写成矢量式为02π4dqrDSDED,所以离球心r处P点的场强为因000220r04π4πrrqqEDEeerr上页下页返回退出上页下页返回退出000r02220rr14π4π4πrrrqqqPeeerrr结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的倍,可求出电极化强度为电极化强度与有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为PrnePr1上页下页返回退出上页下页返回退出rr201π4Rqr00rr01qqq因为1，上式说明恒与q0反号，在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为总电荷量减小到自由电荷量的倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的倍的原因。r1r1r上页下页返回退出上页下页返回退出解：（1）设场强分别为E1和E2，电位移分别为D1和D2，E1和E2与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例题7-30平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为和，厚度分别为d1和d2，电容器两板极上自由电荷面密度为。求（1）在各层电介质的电位移和场强，（2）两层介质表面的极化电荷面密度（3）电容器的电容。+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1212上页下页返回退出上页下页返回退出即在两电介质内，电位移和的量值相等。由于1D2D所以21DD＝0d211＝＋SDSDSDS222111,EDED＝＝所以1r2r1221EE可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。上页下页返回退出上页下页返回退出为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得SSDSDS11再利用222111,EDED＝＝可求得01r11E02r22E方向都是由左指向右。+E1E2D1D2S2S1d1d2AB1E22上页下页返回退出上页下页返回退出（2）由于介质内场强EEE010001r即2r21r11111所以上页下页返回退出上页下页返回退出221122112211BAddSqdddEdEVV＝－2211BAddSVVqC－是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（3）正、负两极板A、B间的电势差为Sq上页下页返回退出上页下页返回退出选择进入下一节§7-0教学基本要求§7-1物质的电结构库仑定律§7-2静电场电场强度§7-3静电场的高斯定律§7-4静电场的环路定律电势§7-5电场强度与电势梯度的关系§7-6静电场中的导体§7-7电容器的电容§7-8静电场中的电介质§7-9有电介质时的高斯定律电位移§7-10静电场的能量