导数与函数单调性

一轮复习讲义导数与函数的单调性函数的单调性对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间上单调递减．要点梳理忆一忆知识要点注意：若可导函数只有某区间的个别点处导数等于零，不影响函数在该区间内的单调性题型一：求函数（不含参数）的单调区间的单调区间求函数例22ln)(1.xxxf分析：求函数单调区间时先要求定义域),0()0,(解：函数定义域为xxxxxfln2ln)(222xxxxxxxxf)1)(1(2)1(222)(21010)1)(1(2)(xxxxxxf或得令1100)1)(1(2)(xxxxxxf或得令)1,0()1,()(),1()0,1()(和的单调递减区间是函数和的单调递增区间是函数xfxf求可导函数f(x)单调区间的一般方法和步骤如下：⑴确定函数f(x)的定义区间；⑵求函数f(x)的导数f'(x)；⑶令f'(x)0，所得x的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间；令f'(x)0，得单调减区间.方法总结注意：多个单调区间用“和”或，连接。的单调区间求）（的单调区间求）（例)()()1(31)(2)()0()1(31)(1.2223223xfRmxmxxxfxfmxmxxxf分析：利用导数求函数单调区间时，要注意对参数进行讨论题型二：求含参数的函数的单调区间)]1()][1([12)('22mxmxmxxxf解：mmxf110)('和的两根为方程mmm110),1(),1,()1,1(mmmm单调递减区间是函数的单调递增区间是mxmxxfmxmxf110)('110)('或得令得令的单调区间求）（例)()()1(31)(2.2223xfRmxmxxxf题型二：求含参数的函数的单调区间)]1()][1([12)('22mxmxmxxxf解：mmxf110)('和的两根为方程mmm110)1(有当),1(),1,()1,1(mmmm单调递减区间是函数的单调递增区间是mxmxxfmxmxf110)('110)('或得令得令)]1()][1([12)('22mxmxmxxxf解：mmxf110)('和的两根为方程mmm110)2(有当),1(),1,()1,1(mmmm单调递减区间是函数的单调递增区间是mxmxxfmxmxf110)('110)('或得令得令)]1()][1([12)('22mxmxmxxxf解：mmxf110)('和的两根为方程mmm110)3(有当),(函数的单调递增区间是xxfxRxxf得令且得令0)('10)(')11,-)1,10，）和（单减区间是（时，单增区间是（综上，当mmmmm)11,-)1,10，）和（单减区间是（时，单增区间是（当mmmmm),-0时，单增区间是（当m方法总结•（1）在判断函数单调性时，若求导后的解析式中含有参数，利用函数单调性与导数的关系转化为含参不等式进行讨论。•（2）常讨论二次项的系数是否为0、有无根、根的大小等•（3)在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的范围，而且要结合定义域来确定最后的单调区间。题型三：已知单调区间，求参数的取值范围的取值范围求单调递增，上在例aRaxxaxxf131)((1)323分析：本题知道了函数的单调性，而去求参数的范围。的取值范围求单调递增，上在a，axxaxxf(2))2(131)(23axaxxf2)()1(2解：上单调递增在由题设知Rxf)(恒成立，对Rxxf0)(上恒成立在即Raxax022111004402aaaaaa或上单调递增在时当Rxfa)(1axaxxf2)()2(2解：上单调递增在由题设知),2()(xf恒成立，对),2(0)(xxf上恒成立在即),2(022xaxax上恒成立在),2(122xxxa，令12)(2xxxh),2()(xxha，问题转化成最大值上的最大值在下面求),2()(xxh2222222221)1(212212212)(）（）（）（）（xxxxxxxxxh0)(),2(xhx时当上单调递减在),2()(xh54)2()(hxh上单调递增在时),2()(54xfa方法总结（1）已知函数f(x)在某个区间上的单调性，求参数的取值范围时，将问题转化为导数f'(x)在区间上大于等于0（或小于等于0）恒成立。（2）不等式恒成立问题，可转化为求最值问题巩固练习)1,0(6)(1.23的取值范围求上单调递减，在axaxxxf123)(2axxxf解：上单调递减在由题设知)1,0()(xf恒成立，对)1,0(0)(xxf上恒成立在即)1,0(01232xaxx上恒成立在)1,0(2132xxxa，令xxxh213)(2)1,0()(xxha，问题转化成最大值上的最大值在下面求)1,0()(xxhxxxxxh2123213)(2上单调递增在)1,0()(xh1)1()(hxh上单调递增在时)1,0()(1xfa利用导数研究函数单调性题型总结题型一：求函数（不含参数）的单调区间题型二：求含参数的函数的单调区间题型三：已知单调区间，求参数的取值范围