导数与微分

第三章导数与微分第二节求导法则第三节微分及其在近似计算中的应用第一节导数的概念一、两个实例二、导数的概念三、可导与连续第一节导数的概念四、求导举例第一节导数的概念1.变速直线运动的瞬时速度设一物体作变速直线运动，其路程函数为s=s(t)，求该物体在0t时刻的瞬时速度.设在0t时刻物体的位置为s(0t).当经过0t+tΔ时刻获得增量tΔ时，物体的位置函数s相应地有增量),()(00tsttss（如下图）于是比值,00ttsttstsO)(0ts)(0ttss一、两个实例就是物体在0t到0t+tΔ这段时间内的平均速度,记作v，.00ttsttstsv即当tΔ很小时，v可作为物体在0t时刻的瞬时速度的近似值.且tΔ越小，v就越接近物体在0t时刻的瞬时速度，即.limlimlim)(000000ttsttstsvtvttt就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当时间增量趋于零时的极限.2.平面曲线的切线斜率设函数)(xfy的图像为曲线L（如上图），000(,())Mxfx和(,())Mxfx为曲线L上的两点，它们到x轴的垂足分别为A和B,作0MN垂直BM并交BM于N，则00ΔxxxNM,)()(Δ0xfxfyNM.ABTNLMoyx)(xfy0M在曲线L上点0M附近，再取一点M,作割线0MM，当点M沿曲线L移动而趋向于0M时，割线0MM的极限位置0MT就定义为曲线L在点0M处的切线.平面曲线的切线几何演示便是割线0MM的斜率tan，当0Δx时,M沿曲线L趋于0M，从而我们得到切线的斜率00Δ0Δ0Δ0Δ()ΔtanlimtanlimlimΔΔxxxfxxfxyxx.由此可见，曲线)(xfy在点0M处的纵坐标y的增量yΔ与横坐标x的增量xΔ之比，当0x时的极限即为曲线在0M点处的切线斜率.0000ΔΔ,ΔΔfxfxfxxfxyxxxx而比值设函数)(xfy在点0x的某一邻域内有定义，当自变量x在0x处有增量0Δ(Δ0,Δxxxx仍在该邻域内)时，相应地函数有增量00Δ(Δ)()yfxxfx，如果Δy与Δx之比ΔΔyx当Δ0x时，极限1.导数的定义00Δ0Δ0(Δ)()ΔlimlimΔΔxxfxxfxyxx存在，那么这个极限值称为函数)(xfy在点0x的导数.并且说，函数)(xfy在点0x处可导，记作)(0xf，二、导数的概念也记为0'xxy，0d)(dxxxxf或0ddxxxy，即00000(Δ)()Δ()limlimΔΔxxfxxfxyfxxx.如果极限不存在，我们说函数)(xfy在点0x处不可导.如果固定0x，令0Δxx=x，则当Δ0x时，有0xx，故函数在0x处的导数)(0xf也可表为000)()(lim)(0xxxfxfxfxx.极限00Δ0Δ0(Δ)()ΔlimlimΔΔxxfxxfxyxx；00Δ0Δ0(Δ)()ΔlimlimΔΔxxfxxfxyxx.分别叫做函数)(xf在点0x处的左导数和右导数，且分别记为)(0xf和)(0xf.定理函数)(xfy在点0x的左、右导数存在且相等是)(xf在点0x处可导的充分必要条件.2．左、右导数如果函数)(xfy在区间)b,(a内每一点都可导，称)(xfy在区间)b,(a内可导.如果)(xf在)b,(a内可导，那么对应于)b,(a中的每一个确定的x值，对应着一个确定的导数值)(xf，这样就确定了一个新的函数，此函数称为函数)(xfy的导函数.记作)(xf，y,xydd,xxfd)(d，在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数.显然，函数)(xfy在点0x处的导数)(0xf，就是导函数)(xf在点0xx处的函数值，即0)()(0xxxfxf.例1求函数2xy在任意点x处的导数.解在x处给自变量一个增量Δx，相应的函数增量为22Δ(Δ)()(Δ)yfxxfxxxx22Δ(Δ)xxx,于是Δ2ΔΔyxxx,则Δ0Δ0Δlimlim(2Δ)2Δxxyxxxx,即xx2)(2.曲线切线方程：曲线L上点),(00yxM处的切线方程就是))((000xxxfyy.特别地，若)(0xf，则切线垂直于x轴，切线方程就是x轴的垂线0xx.解因为xxy2)(2，由导数的几何意义又知，曲线2xy,在点(1,1)处的切线斜率为2211xxxy.所以，所求的切线方程为)1(21xy,即12xy.法线方程为)1(211xy即2321xy.导数的几何意义：函数)(xfy在点0x处的导数等于函数所表示的曲线L在相应点),(00yx处的切线斜率.例2求抛物线2xy在点(1,1)处的切线方程和法线方程.3.导数的几何意义对于函数)(xfy，比值00ΔΔΔΔfxxfxyxx,表示自变量x在以0x与0Δxx为端点的区间中每改变一个单位时,函数y的平均变化量.所以把ΔΔyx称为函数)(xfy在该区间中的平均变化率；把平均变化率当Δ0x时的极限)(0xf或0ddxxxy称为函数在0x处的变化率.变化率反映了函数y随着自变量x在0x处的变化而变化的快慢程度.4.变化率模型几个常见变化率模型问题平均变化率变化率模型电流模型电荷)(tQQ00(Δ)()ΔΔΔQttQtQitt000Δ0(Δ)()()limΔtQttQtitt细杆的线密度质量)(xmm00(Δ)()ΔΔΔmxxmxmxx000Δ0(Δ)()()limΔxmxxmxxx边际成本模型总成本)(xCCΔ(Δ)()ΔΔCCxxCxxxΔ0Δ0Δ(Δ)()()limlimΔΔxxCCxxCxCxxx化学反应速度浓度)(tNNΔ(Δ)()ΔΔNNttNtttΔ0(Δ)()()limΔxNttNtNtt关于变化率模型的例子很多，如比热容、角速度、生物繁殖率等等，在这里就不再一一列举了.设函数)(xfy在点x处可导,有)(lim0xfxyx根据函数的极限与无穷小的关系,可得)()(xxfxy.其中)(x是0x的无穷小，两端各乘以x,即得xxxxfy)(α)(,由此可见0lim0yx.这就是说)(xfy在点x处连续.也即，如果函数)(xfy在x处可导，那么在x处必连续.但反过来不一定成立，即在x处连续的函数未必在x处可导.例如，函数0,,0,xxxxxy显然在x0处连续，但是在该点不可导.三、可导与连续因为xxfxfy)()0(,所以在0x点的右导数:1limlimlim)0(000xxxxxyfxxx.而左导数是:1limlimlim)0(000xxxxxyfxxx.左右导数不相等，故函数在该点不可导.所以，函数连续是可导的必要条件而不是充分条件.求函数)(xfy的导数y的步骤：（1）求增)()(xfxxfy,（2）算比值：xxfxxfxy)()(,（3）取极限：xyyx0lim.四、求导举例解(1)求增量：因为Cy，即不论x取什么值，y的值总等于C，所以0y；(2)算比值：xy0；(3)取极限：00limlim00xxxyy.即常数函数的导数等于零.解（1）求增量：xxxxfxxfysin)sin()()(，由和差化积公式有：2)(sin2)(cos2xxxxxxy.2sin)2cos(2xxx例7求函数Cy（C是常数）的导数.例8求函数xysin的导数.（2）算比值：22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy.（3）取极限：22sin)2cos(limlimdd00xxxxxyxyxx00sin2limcos()limcos22xxxxxxx,即(sin)cosxx.用类似的方法，可求得余弦函数y=cosx的导数为：(cos)sinxx.解（1）求增量：xxxxxxyaaaloglog)(logxxa1log,（2）算比值：xxaaxxxxxxxy1log11log,（3）取极限：xxaxxxxxxyxy1log1limlimdd00axxaln1elog1,即axxaln1)(log.特别地，当ea时，得自然对数的导数xx1)(ln.例9求对数函数)0,0,0(logxaaxya的导数.解(1)求增量：由二项式定理有nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(!2)1(221,(2)算比值：121)(!2)1(nnnxxxnnnxxy,(3)取极限：12100d(1)limlim()d2!nnnxxyynnnxxxxxx1nnx,即1nnnxx.（n为正整数）一般地，对xy（是实数），也有1xx.这个公式在后面将给出证明.例如：xxx2121，2111xxx.例10求函数nxy（n为正整数）的导数.1.思考下列命题是否正确？如不正确举出反例.(1)若函数)(xfy在点0x处不可导，则)(xf在点0x一定不连续；(2)若曲线)(xfy处处有切线，则)(xfy必处处可导.2.若Aaxafxfax)()(lim（A为常数），试判断下列命题是否正确.（1）)(xf在点x=a处可导；（2）)(xf在点x=a处连续；（3）)()()()(axoaxAafxf.思考题：第二节求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则四、初等函数的求导公式三、反函数的求导法则五、三个求导方法六、高阶导数定理1设函数）（xuu与）（xvv在点x处可导,则函数）（）（xvxu,）（）（xvxu,））（（）（）（0xvxvxu也在点x处可导,且有以下法则:(1)）（）（）（）（xvxuxvxu][;(2))()()()(])()([xvxuxvxuxvxu,特别地）（）（xuCxCu][(C为常数);(3)）（）（）（）（）（）（）（xxxuxxuxxu2)0)((xv,特别地,当Cxu）（(C为常数)时,有）（）（）（xvxvCxvC2第二节求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则下面我们给出法则（2）的证明，法则（1），（3）的证略．证令）（）（xvxuy,(1)求函数y的增量:给x以增量x,相应地函数）（xu,）（xv各有增量u与v,从而y有增量,][][vxuxxuvxvxxvxuxxvxuxxuxvxuxxvxxuy）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（(2)算比值:xuxuxxvxuxy）（）（,(3)取极限:由于）（xu与）（xv均在x处可导,所以）（），（xvxvxuxuxx00limlim.又,函数）（xv在x处可导,就必在x处连续,因此)()(lim0xvxxvx