导数中的不等式和部分难点知识

第1页共17页导数中的不等式和难点知识回顾所讲过的知识我们所讲的序列教案关注下面八大类问题：1、含参单变量问题2、含参多变量问题3、凸函数、Bernoulli（贝努利）不等式、Jensen（詹生）不等式、Young（杨）不等式的应用问题4、数列不等式证明问题5、数列1{(1)}nn、11{(1)}nn与1{}nn、1{(1)}nn的单调性问题6、Holder（赫尔德）不等式的证明、介值定理的应用问题7、LHospital（罗比达）法则的应用问题、Chebyshev（切比雪夫）多项式、Chebyshev不等式问题、两个重要极限（1lim(1)nnen，0sinlim1xxx）的应用问题8、Lagrange（拉格朗日）定理型问题、不动点理论、Lipschitz（李普希茨）条件应用问题其中问题3、4会针对我们湖北省2010、2011、2012三年的高考压轴题进行深入剖析，其它五大类问题针对其它省份压轴题和今年出现的模考题、调研题、质检题等进行知识切片或题型切片进行讲解。特别的，八大类问题中的三、五、六、七、八五大类问题是体现新课标的命题思路：“既考查中学数学的知识和方法，又考查考生进入高校继续学习的潜能。”纵观这几年的高考试题，命题专家使用的两种常见的途径是：利用“自定义”，考查学生即时学习的能力；其二是“高观点”下的高等数学知识进行特殊化、初等化处理，要求学生运用初等数学思想进行转化和过渡。这两种途径交替出题体现高考“120分有纲可循、还有30分防不胜防”的思路。就湖北省而言：2005年理科卷第七题考查凸、凹函数、Jensen（詹生）不等式；2006年压轴题21题的出题背景是Lagrange（拉格朗日）中值定理；2007年压轴题21题是利用数学归纳法证明Bernoulli（贝努利）不等式，并利用Bernoulli（贝努利）不等式解决问题；2009年压轴题21题的第三问是Chebyshev（切比雪夫）多项式得第一个性质；2010年压轴题21题的第三问考查的是欧拉常数的极限；2011年压轴题考查的是凸函数、加权的Jensen（詹生）不等式的应用；第2页共17页2012年压轴题考查的是Bernoulli（贝努利）不等式，利用Bernoulli（贝努利）不等式证明Young（杨）不等式的应用问题，并且利用数学归纳法把Young（杨）不等式推广到凸函数的情况；文科压轴题中也涉及到两个重要极限的1lim(1)nnen几个常用不等式（推导出来请记住）（1）1xex（2）0x，ln(1)1xxxx（3）(0,)2x，sintanxxx上述幂、指、对和三角函数之间的传递不等式都写来了，需要灵活应用！对于不等式（2）我们接触的不等式ln(1)xx，0x，不是昀佳的，对于ln(1)x，可以给出一个更好的上界，即下面的不等式：（4）ln(1)1xxx不等式（4）的结论强于不等式（2），并且可以证明这个不等式是昀佳的。本次课内容：凸函数、Bernoulli（贝努利）不等式、Jensen（詹生）不等式、Young（杨）不等式的应用问题Holder（赫尔德）不等式的证明、介值定理的应用问题Lagrange（拉格朗日）定理型问题、不动点理论、Lipschitz（李普希茨）条件应用问题达到的目标：熟练掌握Bernoulli（贝努利）不等式证明Young（杨）不等式、再利用Young（杨）不等式证明Holder（赫尔德）不等式；熟练掌握Jensen（詹生）不等式证明Young（杨）不等式、Jensen（詹生）不等式证明Holder（赫尔德）不等式；了解Holder（赫尔德）不等式的应用问题第3页共17页掌握掌握介值定理的应用问题、Lagrange（拉格朗日）定理型问题Bernoulli（贝努利）不等式(1)1nxnx，（1x，n为正整数）推广到实数幂的形式：(1)1xx，（1x，1）；一般意义下的Bernoulli（贝努利）不等式：设2n，实数12,,,nxxx都大于1，并且它们都有相同的符号，则成立1212(1)(1)(1)1nnxxxxxx特别地，当121,nxxxx且0x，成立(1)1nxnx，（1x且0x）。定理：（Jensen詹生不等式）若函数是凸函数，则有不等式11221122()()()()nnnnfxxxfxfxfx0i，1,2,,in，且11niiYoung杨式不等式若0a，0b，且1p，111pq（共轭条件），则11pqababpq提示：证明方法利用Bernoulli（贝努利）不等式和Jensen詹生不等式两种方法（对比湖北省2012高考题问题（2））Holder不等式（赫尔德不等式）设,0kkab，1,2,,kn，,0pq，111pq，有11111()()nnnpqpqkkkkkkkabab第4页共17页按下面思路顺序证明不等式1、Bernoulli（贝努利）不等式证明Young（杨）不等式、再利用Young（杨）不等式证明Holder（赫尔德）不等式2、Jensen（詹生）不等式证明Young（杨）不等式、Jensen（詹生）不等式证明Holder（赫尔德）不等式；第5页共17页Holder（赫尔德）不等式练习（1）求解02x，求33(sin)(cos)xx得取值范围。（推广）02x，求(sin)(cos)nnxx的昀小值和昀大值。（2n）（2）证明：若12,,,naaa都是正数，,为有理数，且，则111212nnaaaaaann第6页共17页介值定理若()yfx在闭区间[,]ab上连续，且()()fafb（或()()fafb），((),())cfafb（或((),())cfbfa），则存在0(,)xab，使0()fxc零点存在定理（根的存在性定理）若()yfx在闭区间[,]ab上连续，且()()0fafb，则()yfx在(,)ab上至少有一个根。补充讲解Rolle定理Rolle定理：设函数()yfx在[,]ab上连续，(,)ab可导，且有()()fafb，则存在0(,)xab，使得0()0fx几何意义：巩固练习：1、设函数()yfx在[,]ab上连续，(,)ab可导，且()0,()0fafb，又有一点(,)cab，()0fc，证明：存在0(,)xab，使得00()()0fxfx提示：零点存在定理和Rolle定理的应用第7页共17页2、若012,,,,naaaa为满足110021nnaaaann的实数，证明：20120nnaaxaxax在[0,1]至少有一实根。提示：利用定积分知识或者Rolle定理（我讲解）难题，我讲解，不要尝试！1、设()fx在区间[0,1]可导，(0)0,(1)1ff，12,,,nkkk为n个正数，证明：在区间[0,1]内存在一组互不相等的12,,,nxxx，使得11()nniiiiikkfx证明一个等价命题：设()fx在区间[0,1]可导，(0)0,(1)1ff，12,,,nkkk为n个正数且满足121nkkk，证明：在(0,1)上存在互不相同的数12,,,nttt，使得12121()()()nnkkkftftft()证明：由介值定理知可以在(0,1)中插入121,,,nxxx，使得：012101nnxxxxx同时满足：11()fxk，212()fxkk，……，1121()nnfxkkk在区间1[,]iixx（1,2,,in）上用Lagrange中值定理，有12,,,nttt，使得11()()()()iiiiiikfxfxftxx，1,2,,in这样就有121021112()()()1()()()nnnnkkkxxxxxxftftftRemark：本题的条件和求证的结论有什么意义？若一开始就从运动学的角度来观察本第8页共17页题，则就很容易理解，而且可以很自然地想出证明的思路，实际上，如把Lagrange中值定理按照运动学那样理解，将()fx看成是质点作直线运动时的路程与时间的关系，则等式()中左边的每一项可以看成是ik除以it时刻的瞬时速度。因此，将ik看成是一段路程的长度，则从Lagrange中值定理的运动学意义，适当选择it就可以使得这样的商等于运动所花的时间，由于121nkkk，又有(0)0,(1)1ff，因此就可将全路程按长度12,,,nkkk分段，求出相应的时间121,,,nxxx，然后用Lagrange中值定理即可。这就是上述证明背后的思想。当然也可从几何角度来考虑本题的解法。补充知识Lagrange中值定理设函数()yfx在[,]ab上连续，(,)ab可导，则存在0(,)xab，使得0()()()fbfafxba几何意义解释：Rolle定理：设函数()yfx在[,]ab上连续，(,)ab可导，且有()()fafb，则存在0(,)xab，使得0()0fx几何意义解释：Remark：（1）可以从物理上来理解这两个定理的意义。例如，设自变量x为时间，因变量y是质点作直线运动时从某点起算的路程。将a和b作为时间的起点和终点，则Rolle定理表明，若质点在起点和终点的位置相同，则一定有瞬时速度为零的时刻。这个时刻在Rolle定理的证明中就是质点运动转向的时刻。同样，Lagrange中值定理的运动学意义也很清楚。它表明一定存在一个时刻0x，使得在该时刻的瞬时速度恰好是质点运动的平均速度。（2）Lagrange中值定理将函数的增量与函数在一个点上的导数值联系起来，它是桥梁，沟通了函数与导数之间的关系，从而研究函数的性质利用导数（变化率）来研究。第9页共17页Q：Lagrange中值定理有没有逆定理？A：对曲线的任一切线，并不一定存在割线，使割线斜率等于切线斜率。例子：3()fxx2012年孝感市高三数学统考理科试题已知函数21()2ln(2)2fxxaxax（aR），问：是否存在实数a，对任意的12,(0,)xx且12xx，有2121()()fxfxaxx恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由。解法1利用Lagrange中值定理对任意的12,(0,)xx且12xx，要使2121()()fxfxaxx恒成立，由Lagrange中值定理知：必存在0(0,)x，使21021()()()fxfxfxxx，即0()fxa，亦即只须()fxa对0x恒成立，亦即2(2)axaax对0x恒成立，从而1(2)2axx对0x恒成立。令211()(2)[(1)1]22gxxxx，则min1()(1)2gxg故12a解法2利用转化思想假设存在这样的实数a满足条件，不妨设12xx，由2121()()fxfxaxx，知2211()()fxaxfxax成立，令21()()2ln22gxfxaxxaxx，则函数()gx在(0,)单调递增，从而2()20agxxx，即2222(1)1axxx在(0,)恒成立，故12a解法二正确，解法一不正确。进一步：在可导曲线中，{割线斜率}={切线斜率}是一个错误命题第10页共17页补充一个结论：结论：在可导曲线()yfx中，其图像上任意2个不同点连线的斜率组成的集合为P，图像上任一点的切线斜率组成的集合为Q，则（1）PQ，即{割线斜率}{切线斜率