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第一章证明（二）三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定：序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1公理三角形全等的判定公理三边对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边对应相等的两个三角形全等SSSSASASA2定理三角形全等的判定定理两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等AAS3公理三角形全等的性质全等三角形的对应边相等、对应角相等4定理等腰三角形的性质的推论等腰三角形的两个底角相等等边对等角5定理等腰三角形的判定定理等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线底边上的高互相重合“三线合一”6定理等边三角形的判定定理有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7定理有一个角等于30°的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半8定理等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形等角对等边9定理勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方符号语言：若∠C=90°，则c2=a2+b210概念互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理11定理勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形符号语言若，则a2+b2=c2，∠C=90°。12定理直角三角形全等的判定定理斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等HL证明方法：综合法、反证法综合法：①审题：找出已知、求证的各量之间的关系；②分析解题思路：一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。③书写推理过程，从已知入手，将分析过程倒着写出来反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法称为反证法。（步骤：①提假设：假设命题的结论不成立，②推矛盾：从假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；③得结论：从而肯定命题的结论）几种常见的结论和它的否定形式：“a＞b”“a≤b”“a=b”“a≠b”或“a＜b，a＞b”“a∥b”“a与b相交”“点在直线上”“点在直线外”“至少有一个”“一个都没有”“至少有两个”“至多有一个”互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。（“条件”与“结论”交换）互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。易错易混点1.如图Z—01，△ABC为AD为中线，∠BAD=∠DAC，求证：AB=AC。2.如图Z—02所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且AB=AC，DE、DF分别是垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证BE=CF。典型例题1.在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是_____________。2.已知：如图Z—03所示，△ABC中AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC于E，并与CA的延长线相交于F。求证：AD=AF。3.已知：如图Z—04，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，求证：AB=2BC。变形题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.已知：求证：4.如图Z—05所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠ABC=2∠C。求证：AB+BD=AC。5.如图Z—06，在△ABC中，∠CAB=90°，∠C=30°，AD是BC边上的高，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点F，求证：△AEF是等边三角形。6.折叠矩形纸ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕Z—01Z—02ZM—03ZM—04ZM—05ZM—06ZM—07DG，如图Z—07，若AB=2，BC=1，求AG的长。学习自评1.△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，若∠EBC=∠BAD，则△ABC一定是（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2.一个三角形三边之比为3：4：5，则此三角形三边上的高之比为（）A.3：4：5B.5：4：3C.20：15：12D.9：8：73.三角形三边长分别为6，8，10，那么它的最短边上的高为（）A.4B.5C.6D.84.直角三角形的斜边长为13cm，面积为30cm2，另两边分别为（）A.5cm，6cmB.7.5cm，8cmC.5cm，12cmD.34cm，35cm5.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（）①若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等；②若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等；③若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；④两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等。其中正确的命题有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知直角三角形一锐角是30，斜边长是1，那么这个三角形的周长是（）A.25B.3C.223D.2337.已知直角三角形两直角边之和是6，斜边长为2，则这个三角形的面积等于（）A.32B.1C.21D.418.一个等腰三角形的顶角是150°，面积是4cm，则它的腰长是_____________cm。9.等腰三角形的两条边长分别为6cm和8cm，那么这个三角形的周长是________cm。10.等腰△ABC中，腰AB上的中垂线与AC所在直线相交所得锐角为50°，则底角B的大小是____________。11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_________cm。12.“正方形是矩形”，它的逆命题是________________________。13.等腰三角形底边长6cm，腰为5，则它的面积为______________。14.一个三角形的三条边长分别是20，15，25，那么它的最长边上的高是__________。15.命题“一个三角形中至少有一个角大于60°”，用反证法证时，应假设“_______________________________”。16.已知a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形ABC的形状为________。17.命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是__________________，结论是_________________。18.已知直角三角形斜边上的中线为1，周长为62，求三角形的面积。19.用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角。20.在△ABC中，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，c-a=21b，c+a=2b，判断△ABC的形状。21.如图ZM—08，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F。(1)求证：AD=CE；(2)求∠DFC的度数。22.如图ZM—09，∠AOB是一钢梁，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH…添加的钢管长度都与OE相等，则最多能加多少根？23.已知如图ZM—10，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点，试判断△MEF的形状，并证明你的结论。24.求证：以m2+n2，m2-n2，2mn为边的三角形为直角三角形。25.已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC的三边的距离为h1、h2、h3，△ABC的高为h。“若点P在△ABC的一边BC上（图ZM—11①），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息解决下列问题。当P点在△ABC内（图ZM—11②），P点在△ABC外（图ZM—11③）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h1、h2、h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明线段的垂直平分线与角平分线ZM—08ZM—10ZM—09ZM—11知识要点序号必记项目必记知识必记内容巧记方法1定理线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等有了中垂线，就有了相等的线段2定理线段垂直平分线的判定到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上联想等腰三角形的“三线合一”3定理三角形的三条边上的垂直平分线的性质三角形的三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等三边中垂线共点提示有线段垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与线段的两端点连接起来，利用等腰三角形的性质来解决问题4定理角平分线的性质角平分线上的点到这个角两边的距离相等图形与符号结合记忆5定理角平分线的判断在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上6定理三角形的三条角平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，且这一点到三条边的距离相等三条角平分线共点易错易混点1.已知：如图ZM—12，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=DF，求证：AD垂直平分EF。ZM—13ZM—12ZM—142.如图ZM—13，P是∠AOB的平分线上的一点，OC=OD，PC=2cm，求PD的长。3.现有不在一条直线上的A、B、C三城.（1）在A、B城间建一果品批发市场，使其到A、B两城距离相等，此市场位置惟一么？它们的位置有什么关系？（2）在B、C两城间建一水果仓库，使其到B、C两城距离相等.仓库位置惟一么？它们的位置有什么关系？（3）为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到两城距离相等.应如何选址？画图说明.典型例题1.已知，如图ZM—14，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C=____________。2.到三角形三个顶点距离相等的点是（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三条高线的交点D.三条中垂线的交点3.如图ZM—15，已知△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分线AD交BC的延长线于E，求证：(1)∠EAC=∠B；(2)DE2=CE·BE.4.如图ZM—16，已知△ABC中，∠A的平分线与BC的垂直平分线MD交于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F。求证：CF=21(AB—AC).ZM—17ZM—15ZM—165.如图ZM—17所示，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于F，BD=26，AE⊥BC于E，求EC的长。学习自评1.等腰三角形顶角为100°，两腰的垂直平分线交于P，则P点在（）A.在三角形内B.在三角形的底边上C.在三角形外D.与三角形的边长有关2.在△ABC中，AB=AC，BC=5cm，作AB的垂直平分线交另一腰AC于点D，连接BD，若△BCD的周长是17cm，则腰长为（）A.12cmB.6cmC.7cmD.5cm3.如图所示ZM—18，△ABC中，∠BAC=118°，若DE、FG分别垂直平分AB和AC，则∠EAF等于（）A.68°B.56°C.48°D.34°4.如图ZM—19，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.两处C.三处D.四处5.在△ABC中，O是A的平分线与B的平分线的交点，有如下结论：①点O到AC边，AB边的距离相等；②点O到AB边，BC边距离相等；③点O到AC边，BC边的距离相等；④点O到AB，AC，BC边的距离都相等。其中正确的结论有（）A.一个B.二个C.三个D.四个6.如图ZM—20所示，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，DE⊥AB于E，5DE=BE，则AD的长度是（）A.2B.1C.22D.27.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分，其差为3cm，则腰长为（）A.2cmB.8cmC.8cm或2cmD.7cm8.下列命题中真命题的个数是（）(1)如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边.(2)如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线