03、麦克斯韦速率分布律、气体分子的平均自由程

引：温度和压强都涉及到分子的平均动能，即有必要研究一下分子速率的规律。这个规律早在1859年由麦克斯韦应用统计概念从理论上推导出来，而后被实验证实。麦克斯韦是19世纪英国伟大的物理学家、数学家。1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡，自幼聪颖，父亲是个知识渊博的律师，使麦克斯韦从小受到良好的教育。10岁时进入爱丁堡中学学习，14岁就在爱丁堡皇家学会会刊上发表了一篇关于二次曲线作图问题的论文，已显露出出众的才华。1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理。1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习。1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授。1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授。1861年选为伦敦皇家学会会员。1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》，并于1873年出版。1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什实验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。按统计假设，各种速率下的分子都存在，用某一速率区间内分子数占总分子数的百分比，表示分子按速率的分布规律。单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。一、速率分布函数（SpeedDistributionFunction）m/s10001N出现的概率为的分子数为NN12.总分子数为N，Nvvv区间内的分子数为在例如速率间隔取100m/s,1.将速率从分割成很多相等的速率区间。0m/s2001012N出现的概率为的分子数为则可了解分子按速率分布的情况。NN2任一速率区间内分子出现的概率为NNi3.概率NNiv有关，不同v附近概率不同。v有关，速率间隔大概率大。与４.当dvv速率间隔很小，该区间内分子数为dN，在该速率区间内分子的概率dvNdNNdvdNvf)(f(v)为速率分布函数写成等式dvvfNdN)(•表示在速率v附近，单位速率区间内分子出现的概率，即概率密度。•或表示在速率v附近，单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。对于不同气体有不同的分布函数。麦克斯韦首先从理论上推导出理想气体的速率分布函数。二、速率分布函数的物理意义NdvdNvf)(气体分子速率的统计分布规律（MaxwellSpeedDistributionLawofGases）一、分子速率的实验研究－兰媚尔实验二、实验数据的图示化三、麦克斯韦速率分布函数四、用速率分布函数求分子运动的几种平均值1860年麦克斯韦推导出理想气体的速率分布律：2/324)(kTmvf1.f(v)～v曲线讨论ov)(vf0)(0vfv时0)(vfv时222vekTmv2.在dv速率区间内分子出现的概率ov)(vfdvvfNdN)(dv)(vfNdvdNvf)(2/324kTm222vekTmvdv3.在f(v)～v曲线下的面积为该速率区间内分子出现的概率。ov)(vfdvvfNNvvv)(vvv)(vf4.在f(v)～v整个曲线下的面积为1---归一化条件。ov)(vfdvNdvdNdvvf00)(分子在整个速率区间内出现的概率为1。NdNN011NN例：试说明下列各式的物理意义。,)()1(dvvf,)()3(21dvvfvv答：由速率分布函数可知NdvdNvf)(NdNdvvf)()1(表示在速率v附近，dv速率区间内分子出现的概率。,)()2(dvvNf.)()4(21dvvNfvvdNdvvNf)()2(表示在速率v附近，dv速率区间内分子的个数。表示在速率v1～v2速率区间内，分子出现的概率。NNdvvfvv)()3(21NdvvNfvv)()4(21表示在速率v1～v2速率区间内，分子出现的个数。最概然速率也称最可几速率，表示在该速率下分子出现的概率最大。ov)(vfpvRTRTvp41.121、最概然速率0NRkmN01.vP与温度T的关系mkTvp2pvT曲线的峰值右移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值降低。12TTov)(vf1pv2pv2T1T讨论pvm曲线的峰值左移,由于曲线下面积为1不变，所以峰值升高。12mmov)(vf1pv2pv2m1m2.vP与分子质量m的关系mkTvp2RTRTv59.18例：求空气分子在27ºC时的平均速率。解：由公式RTv8,300KT3102930031.88vg/mol29m/s1.4692.平均速率mkTv32RTRTv73.1323.方均根速率ov)(vfpv2vv4.三种速率的比较mkTvp2RTv8RTv32分子速率在几百米/秒的数量级，但为什么食堂炸油并时并不能马上闻到油香味呢？原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞这正于散电影后，路上人很多，你想走快也快不了。碰撞是分子的第二特征。（第一特征是分子作永恒的运动）分子碰撞也是“无规则”的相隔多长时间碰撞一次一、问题的提出分子碰撞也是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次,每次飞翔多远才碰撞，也都有是随机的、偶然的，因此也只能引出一些平均值来描写。一、平均碰撞次数（频率）Z二、分子的平均自由程温度不变时，降低压强只有减少分子数密度n而减少n又只有如下两个办法：1、V不变，抽去一些分子，分子少了，自由程式当然大了。2、增大体积，分子平均自由程式当然也大了。pdkT2__2