4.3,4二次型与合同变换(第十五次)

解：由A和B相似可知，它们的迹、行列式都相等，即l1l22,l36.对于特征值l1l22,解线性方程组(2E-A)Xo，-110101得其基础解系x1=,x2=.对于特征值l36，解线性方程组(6E-A)Xo，得其基础解系x3=，1-23由于A和B相似，且B是一个所以111102.013P--11124233Ax----200,020,00By例4.设矩阵A,B相似，其中①求x,y的值；②求可逆矩阵P，使P-1AP=B.54,664xyxy-解得5.6xy对角阵，可得A的特征值为解：由所给条件知矩阵A的特征值为l11,l20,l3-1,a1,a2,a3是A对应于上述特征值的特征向量.容易验证a1,a2,a3是3阶方阵A的3个线性无关的特征向量，所以A相似于对角阵L＝diag(1,0,-1).取P＝(a1,a2,a3)，则有P-1APL，所以A=PLP-11112012001100000001112012001------116002001A5=PL5P-1PLP-1=A.例5.设3阶方阵A满足Aa1a1，Aa2o，Aa3-a3，其中a1(1,2,2)T,a2(0,-1,1)T,a3(0,0,1)T,求A和A5.定理2n阶矩阵A与n阶对角矩阵Ldiag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.推论若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则A与对角矩阵Ldiag(l1,l2,,ln)相似.注：n阶矩阵A与对角矩阵Ldiag(l1,l2,,ln)相似的充分必要条件是A特征方程的每个k重根l对应k个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(lE-A)X=o的基础解系是否有k个解，亦即系数矩阵lE-A的秩r(lE-A)=n-k.思考题：设00111100Ax，问x取何值时，矩阵A可对角化。解：201||11(1)(1)0,10EAxllllll-------得1231,1.lll-由A的特征方程矩阵A可对角化的充分必要条件是二重根1，有2个线性无关的特征向量，即齐次线性方程组(E-A)X=0有2个线性无关的解，亦即系数矩阵的秩r(E-A)=1.因为100001101010111001100101EAxx------0101001000x---于是，x=-1.4.3二次型的概念一、二次型二、二次型的秩定义1含有n个变量的二次齐次多项式叫做n元二次型，当二次型的系数aij(i,j=1,2,…,n)都是实数时,称为实二次型.1.二次型的定义212111121213131122222323222(,,,)22222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxax特别地,只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.222121122(,,,).nnnfxxxdxdxdx二次型的矩阵形式21211222(,)4fxxxxxx()11212212(,)21xfxxxxx2121122122(,)22fxxxxxxxx12(,)TfxxXAX212111121213131122222323222(,,,)22222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxax()111211212222121212(,,,)()nnnnijjinnnnnaaaxaaaxfxxxxxxaaxaaa注：12(,,,)TnfxxxXAX，其中nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx实对称矩阵称A为二次型系数矩阵,A的秩称为二次型的秩.若二次型f是标准形,即其系数矩阵是对角阵.,其中12(,,,)ndiagdddL222121122(,,,),nnnfxxxdxdxdx则f的矩阵形式为XXxxxfTnL),,,(21例1.写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf---(1)23223214),,(yyyyyf(2)324262,423A------因r(A)=3,故二次型的秩等于3.解:(1)二次型系数矩阵及矩阵形式分别为123(,,)fxxx112312323324(,,)(,,)2624,23xfxxxxxxxx------例1.写出下列二次型的矩阵形式并求该二次型的秩.323121232221321484363),,(xxxxxxxxxxxxf---(1)23223214),,(yyyyyf(2)123(,,)fyyy(2)二次型系数矩阵及矩阵形式分别为000010,004B因r(B)=2,故二次型的秩等于2.112312323000(,,)(,,)010004,yfyyyyyyyy解:例2已知二次型f(x1,x2,x3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩为2，求c解一：二次型的系数矩阵为51315333Ac----|A|=0,可推知c=3.解二：r(A)=251315315302412330129cc--------于是c-9=-6,可推知c=3.2.实对称矩阵的性质定理2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的.定理1实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的k重特征值li对应k个线性无关的特征向量.实对称矩阵一定可以找到n个线性无关的特征向量，即一定可以对角化4.4.2合同变换与二次型的标准形1.合同2.用合同变换化二次型为标准形定义4设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得PTAPB成立，则称矩阵A与B合同，记为AB合同关系具有如下性质：•自反性•对称性•传递性•合同变换不改变矩阵的秩•对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵定理4任何一个实对称矩阵A都合同于对角矩阵.即对于一个n阶实对称矩阵A，总存在可逆矩阵P，使得PTAPL.100-11-122212312132325226fxxxxxxxxx例1.用合同变换化二次型为标准形上述2步操作相当于F1TAF1111123135100010001AE21101012125110010001cc--21101012135100010001rr-101012125110010001-31100012024111010001cc---31101012024110010001rr--322100010000111012001cc---322100012000111010001rr--F1TAF1F2F2T这2步操作相当于F3F3TPPT即PTAP=LP=F1F2F3于是二次型的标准形为f=y12+y22.由变量y1,y2,…,yn到x1,x2,…,xn的线性变换记作X=PY.问题：如何找一个可逆线性变换X=PY，使得将其代入二次型后，得到新的二次型只含变量的平方项的形式(标准形).用合同变换化二次型为标准形1111211221222212nnnnnnnnxpppyxpppyxpppy现将X=PY代入二次型，得12(,,,)()()(),XPYTTTTnfxxxXAXPYAPYYPAPY上式右端是关于变量y1,y2,…,yn的二次型.2221122nndydydy()112212000000nnndydyyyydy,TYYL设其化成了标准形：作业：129页14(1)22212312132325226fxxxxxxxxx()111100|123010135001AE例1.用合同变换化二次型为标准形21111100012-110135001rr-上述2步操作相当于F1TAF121101100012110125001cc--31101100012-110024-101rr-101100012110125001-31100100012110024101cc---F1TAF1这2步操作相当于F2F2T322100100012-1100000-21rr-322100100010-1100000-21cc-F1TAF1F2F2T100100012110024101--这2步操作相当于F3F3TPPT即PTAP=LP=F1F2F3于是二次型的标准形为f=y12+y22.二次曲面的标准方程1.椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1(a0,b0,c0)bacxyzO2.单叶双曲面Oxyzabx2a2+y2b2-z2c2=1(a0,b0,c0)二次曲面的标准方程3.双叶双曲面x2a2+y2b2-z2c2=-1(a0,b0,c0)Oxyzc二次曲面的标准方程4.二次锥面x2a2+y2b2-z2c2=0(a0,b0,c0)Oxyz二次曲面的标准方程5.椭圆抛物面x2a2+y2b2=2z(a0,b0)Oxyz二次曲面的标准方程Oxyz6.双曲抛物面x2a2-y2b2=2z(a0,b0)(马鞍面)二次曲面的标准方程7.椭圆柱面x2a2+y2b2=1(a0,b0)双曲柱面x2a2-y2b2=1(a0,b0)zyOxyOxzzyOx抛物柱面x2=2py(p0)二次曲面的标准方程Oxyax2+2bxy+cy2=1abbcOxyx225+y29=1351/25001/9证明:(反证)设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数k2，，km，使a1＝k2a2++kmam，于是(a1,a1)=(a1,k2a2++kmam)=(a1,k2a2)++(a1,kmam)=k2(a1,a2)++km(a1,am)=0这与(a1,a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.定理1正交向量组是线性无关的向量组.2.8向量组的正交化标准化定理2对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令则向量组b1,b2,,bm是正交向量组.施密特正交化方法11ba2122111(,)(,)abbabbb-313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbbbbb--121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmabababbabbbbbbbbb------