对称思想在几何中的应用研究

对称思想在几何中的应用研究郑莹莹（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要对称思想是一种重要的数学思想，存在于数学的很多领域。对称思想是研究数学问题常用的思想方法，对称是一种美，数学中的对称美主要表现在几何图形的对称、式子的对称、解题方法的对称等方面。本文讨论对称思想在平面几何、解析几何、立体几何、射影几何中的应用并举例说明分析。关键词对称思想几何应用theResearchofSymmetricalIdeaintheGemmetryZhengYingYing（SchoolofMathematicalScience，HuaibeiNormalUniversity，Huaibei，235000）AbstractSymmetricalideaisanimportantmathematicalthought,whichexistsinmanyareasofmathematics,ofwhichweshouldgiveenoughattention.Symmetricalideaisthinkingmethodwhichisthestudymathproblemscommonlyused.Symmetryisabeauty,thesymmetricalbeautyofmathematicsismainlymanifestedinthesymmet-ricalgeometricfigure,thesymmetricalformula,thesymmetricalmethodofsolvingproblem,ect.Thispaperdiscussessymmetricalideasinplanegeometry,andanalyticgeometry,three-dimensionalgeometry,projectivegeometry,andillustratestheappli-cation.KeyWords:SymmetryideaGeometricalapplication目录引言···························································一对称思想的意义··················································二对称思想在初等数学中的应用······································（一）对称思想在平面几何中的应用···································（二）对称思想在平面解析几何中的应用································（三）对称思想在立体几何中的应用····························三对称思想在高等数学中的应用······································（一）对称思想在射影几何中的应用···································（二）对称思想在空间解析几何中的应用································参考文献·····························································后记·····························································引言从数学发展的历程和数学本身的特征看，数学表现出对称性、统一性等科学美学特征。数学美的思想方法对数学、数学教育的发展起到过积极作用，在今后的科学研究、数学教育中还会起到一定的启迪作用。数学中的对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维方法，充分挖掘教材中的对称思想，具有重要的理论意义和现实意义，特别具有审美教育的价值。一对称思想的意义对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。哥白尼说：“在这种有条不紊的安排之下，宇宙中存在着奇妙的对称······”对称是广义的，字母的对称，结构的对称，图形的对称，解法的对称······，无论是哪种对称都是美好的。数学对称包括狭义的对称、常义的对称和泛对称。狭义的对称又包括代数对称和几何对称。对称思想是数学思想中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。笛卡儿创建的解析几何学可以说是对称思想在数学领域成功的运用。在这种坐标几何学中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一。在高等数学里，对称的例子也经常遇到。矩阵和行列式被人们称为“美丽的花园”，即使不懂数学的人，也能感到其排列的整齐和处处对称，从而领略它们的形式之美。从更广泛的意义上讲，数学中的对称思想不仅在几何中得到体现，在数学的知识体系中同样有着广泛的体现。从运算角度看：加与减、乘与除、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等，这些互逆运算都可以看作一种“对称”关系。从函数角度看，函数与反函数也可视为一种“对称”,还有变换与反变换、映像与逆映像等也属对称。从命题的角度看，正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着“对称”关系。“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。集合论中的棣莫弗公式就是关于差集的对偶原理。在逻辑代数(布尔代数)运算中也相应的有对偶原理。在射影几何中，点和直线之间建立了对偶关系，进而得出对偶原理：在平面几何的任一定理中，如果把点换成直线，直线换成点，并把诸种关系换成相应的对偶关系，所得到的新命题依然成立。二对称思想在初等几何中的应用（一）对称思想在平面几何中的应用平面几何中的对称主要指轴对称和中心对称两种，他们揭示了图形自身的一种特殊结构或图形与图形之间特殊的形状、大小和位置关系，当我们从运动变化的角度来审视这个概念时，它又是一种特殊的几何变换——保距式全等变换，从而成为一种重要的数学思想方法和解题手段，认真领会数学的思想和方法，最佳途径莫过于通过对具体数学问题的认识与解决来进行，以下我们通过几个典型的例题来说明对称思想在平面几何中应用.例一：已知：如图1,ABC，ABAC，P是角平分线AD延长线上一点.求证：ABACPBPC.分析：课本中证明线段不等关系的主要根据就是三角形三边关系定理及其推论，但问题中所涉及的线段常常并不在同一个三角形之中，显然必须转移和重新集中，关键是如何转移，角是轴对称图形，它的平分线所在直线就是对称轴，由此想到在本题中沿AD翻转线段AC到AB上，既构造了ABAC，又使得,,ABACPBPC置于同一个三角形之中.图1证明：在AB上截取AEAC，连结PE，ABACBE，由AD平分∠BAC，易得ACP≌AEP，PCPE在PBE中，PBPEBE，ABACPBPC.例二：已知：如图2，在ABC中，AD⊥BC于D，CDBD，P为AD上任一点.求证：ACBPABPC.分析：与例一类似，还是要把线段转移和重新集中，由AD⊥BC容易想到轴对称，所以，取点B关于AD的对称点E，从而转移AB、BP，把四条线段化入如图的PEF和ACF中得以证明.图2证明：在DC上截取DEDB，连结PE、AE,AE、PC交与点F，又AD⊥BC，,BPEPABAE在PEF和ACF中，,EPPFEFACAFFCEPACPEEFAFFC即ACBPABPC.例三：已知：如图3，ABC中，ABAC，AD⊥BC于D，点P在ABD内.求证：∠APB∠APC.图3分析：课本中证明角的不等关系的主要依据就是三角形内角和定理及推论，如何构造这两个角的直接或间接内外角关系的关键，这就要分割目前的邻角关系，转移重构位置关系，题设中的等腰三角形是轴对称图形，如图，作出点P的对称点222DEDBBE可达到这一目的：∠APB∠AFC∠AEF∠EGC∠APC.例四：已知：如图4，在ABC中，∠090C，M是AB的中点。E、F分别在BC、AC上，且∠EMF090.求证：222AFBFEF.图4分析：有结论知，AF、BF、EF应该是一个直角三角形的三条边，关键是如何把它们放入一个直角三角形之中，题设中，M是AB的中点，在平面几何中最常用的就是以中点为中心，进行中心对称旋转，如图4，将AMF以M为中心对称变换至BMD处，可得三边分别等于AF、BF、EF的RtBDE.证明：延长FM至D,使MDMF，连结BD、DE.又∠090EMF，EFED，在AMF和BMD中，AMBM，∠AMF∠BMD，MDMFAMF≌BMDBDAF，∠A∠DBM∠C090∠A∠ABC090∠DBE∠DBM∠ABC090222DEDBBE222AFBFEF例五：已知ABCD是正方形，E是CD上的一点，AEBCCE，AF是BAE平分线，交BC与F..求证：BFFC证明：过F作FHAE与H,AF平分BAEAH与AB关于AF对称，AHAB于是HEEC，EHC为等腰三角形，FCFH而FH与FB关于AF对称BFFH故BFFC例六：半径为4的圆内接正方形的各边为直径，向形外各作半圆，求这四个半圆与外接圆所围成的四个月牙形面积的和。解：根据圆和正方形的对称性知道：月牙形AmBn的面积的4倍，便是四个月牙形面积的和.月牙形的面积为:22221111.4422AmBnSRRRR月牙'=()OABOABoSSSS月牙扇半圆2ORABR圆的半径为，正方形边长，'22121224oRSR半圆2221112442OABOABSRSRR扇，22221111.4422AmBnSRRRR月牙综上我们的例题，我们知道了对称思想在平面几何中的应用。具体来说，平面几何中有些图形，具有对称性。如等腰三角形、等边三角形沿着它们底边上的高可以把由高分成的两部分对折而重合，我们说它们具有轴对称的性质平行四边形可以绕它的对角线的交点旋转后与原图形重合，我们说平行四边形具有中心对称的性质。矩形、菱形、正方形及圆等又具有轴对称的性质，又具有中心对称的性质。对称性，在图案的设计中有着不言而喻的作用。这可以说是对称性的一个应用。特别的，有些几何题，借用它的对称性质，使它的解答简捷、明快，而得到特殊的思维效果。（二）对称思想在平面解析几何中的应用解析几何是通过一种代数的方法来研究点与点、点与线、线与线的关系，比如通过两点的坐标来求两点间的距离，圆上一点与直线距离等等，解析几何是以强大的代数运算为基础，突出了代数的数学化和运算化。中学阶段平面解析几何的大致结构包括：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线。它们的解析式，它们的具体性质，它们相互之间的关系也就是我们中学所要学习的内容。1点关于点的对称点的求法设点(,)Pab关于点(,)Mxy的对称点为'''(,)Pab，由中点坐标公式'2aax、'2bby，解得APC、'2byb，因此有点(,)ab关于点(,)xy的对称点坐标为(2,2).xayb2点关于直线的对称点的求法（1）点(,)ab关于x轴、y轴、原点、直线yx、直线yx、直线xm、直线yn的对称点分别为(,)ab、(,)ab、(,)ab、(,)ba、(,)ba、(2,)mab、(,2).anb（2）点A关于直线0xyc的对称点'A的坐标为(,)ycxc；点A关于直线0xyc的对称点'A的坐标为(,).ycxc3曲线关于点的对称曲线的求法曲线:(,)0Cfxy关于点(,)Pab的对称曲线'C的方程为：(2,2)0.faxby特别地，(,)0fxy关于原点对称曲线方程为(,)0.fxy4曲线关于直线的对称曲线的求法曲线(,)0fxy关于直线0xyc的对称